إجابات أتدرب وأحل المسائل

إجابات أتدرب وأحل المسائل

الكسور الجزئية

أجزيء كلاً من المقادير النسبية الآتية إلى كسور جزئية:

1) $\frac{2 x - 5}{(x + 2) (x + 3)}$

$\frac{2 x - 5}{(x + 2) (x + 3)}$ = $\frac{- 9}{x + 2}$ - $\frac{11}{x + 3}$

2) $\frac{2 x + 22}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{2 x + 22}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{2 x + 22}{x (x + 2)}$ = $\frac{11}{x}$ - $\frac{9}{x + 2}$

3) $\frac{4 x - 30}{x^{2} - 8 x + 15}$

$\frac{4 x - 30}{x^{2} - 8 x + 15}$ = $\frac{4 x - 30}{(x - 5) (x - 3)}$ = $\frac{- 5}{x - 5}$ + $\frac{9}{x - 3}$

4) $\frac{6 x^{2} - 7 x + 10}{(x - 2) (x^{2} + 1)}$

$\frac{6 x^{2} - 7 x + 10}{(x - 2) (x^{2} + 1)}$ = $\frac{4}{x - 2}$ + $\frac{2 x - 3}{x^{2} + 1}$

5) $\frac{2 - 3 x - 4 x^{2}}{x (x - 1) (1 - 2 x)}$

$\frac{2 - 3 x - 4 x^{2}}{x (x - 1) (1 - 2 x)}$ = $\frac{- 2}{x}$ + $\frac{5}{x - 1}$ + $\frac{2}{1 - 2 x}$

6) $\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$ = $\frac{x}{(4 x - 3) (2 x - 1)}$ = $\frac{3}{2 (4 x - 3)}$ - $\frac{1}{2 (2 x - 1)}$

7) $\frac{1}{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}$

$\frac{1}{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}$ = $\frac{1}{(x + 3) (x - 5) (2 x + 1)}$

= $\frac{1}{40 (x + 3)}$ + $\frac{1}{88 (x - 5)}$ - $\frac{4}{55 (2 x + 1)}$

8) $\frac{9 x^{2} - 9 x + 6}{2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4}$

$\frac{9 x^{2} - 9 x + 6}{2 x^{3} - x^{2} - 8 x + 4}$ = $\frac{9 x^{2} - 9 x + 6}{(x - 2) (x + 2) (2 x - 1)}$

= $\frac{2}{x - 2}$ + $\frac{3}{x + 2}$ - $\frac{1}{2 x - 1}$

9) $\frac{5 - 3 x - x^{2}}{- x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 12}$

$\frac{5 - 3 x - x^{2}}{- x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 12}$ = $\frac{5 - 3 x - x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (3 - x)}$

= $\frac{1}{4 (x + 2)}$ + $\frac{7}{4 (x - 2)}$ + $\frac{1}{3 - x}$

10) $\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{3} - 16 x}$

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{3} - 16 x}$ = $\frac{{(x - 3)}^{2}}{x (x + 4) (x - 4)}$ = $\frac{- 9}{16 x}$ + $\frac{49}{32 (x + 4)}$ + $\frac{1}{32 (x - 4)}$

11) $\frac{7 x - 3}{x^{2} - 8 x + 16}$

$\frac{7 x - 3}{x^{2} - 8 x + 16}$ = $\frac{7 x - 3}{{(x - 4)}^{2}}$ = $\frac{7}{(x - 4)}$ + $\frac{25}{{(x - 4)}^{2}}$

12) $\frac{1}{(x + 1) {(x - 2)}^{2}}$

$\frac{1}{(x + 1) {(x - 2)}^{2}}$ = $\frac{1}{9 (x + 1)}$ - $\frac{1}{9 (x - 2)}$ + $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{2}}$

13) $\frac{2 x^{2} - x - 6}{x^{3} + 4 x^{2} + 4 x}$

$\frac{2 x^{2} - x - 6}{x^{3} + 4 x^{2} + 4 x}$ = $\frac{2 x^{2} - x - 6}{x {(x + 2)}^{2}}$ = $\frac{- 3}{2 x}$ + $\frac{7}{2 (x + 2)}$ - $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

14) $\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$ = $\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$ = $\frac{- 1}{x}$ + $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$

15) $\frac{x^{2} + 2 x + 40}{x^{3} - 125}$

$\frac{x^{2} + 2 x + 40}{x^{3} - 125}$ = $\frac{x^{2} + 2 x + 40}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ = $\frac{1}{x - 5}$ - $\frac{3}{x^{2} + 5 x + 25}$

16) $\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 36 x + 216}{x^{3} + 216}$

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 36 x + 216}{x^{3} + 216}$ = -2 + $\frac{- 30 x^{2} + 36 x + 648}{x^{3} + 216}$

17) $\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 33 x + 2}{x^{2} + 8 x + 15}$

x + 4 + $\frac{- 14 x - 58}{x^{2} + 8 x + 15}$ = x + 4 + $\frac{- 14 x - 58}{(x + 5) (x + 3)}$

x + 4 - $\frac{6}{(x + 5)}$ - $\frac{8}{(x + 3)}$

18) $\frac{x^{5} - 2 x^{4} + x^{3} + x + 5}{x^{3} - 2 x^{2} + x - 2}$

x² + $\frac{2 x^{2} + x + 5}{x^{3} - 2 x^{2} + x - 2}$ = x² + $\frac{3}{x - 2}$ - $\frac{x + 1}{x^{2} + 1}$

19) أبيّن أنّه يمكن كتابة $\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$ بالصورة $\frac{1}{2 a (x + a)}$ - $\frac{1}{2 a (x - a)}$ حيث a عدد حقيقي.

$\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$ = $\frac{A}{x - a}$ + $\frac{B}{x + a}$

A(x + a) + B(x – a) = 1

بتعويض x = a ينتج أنّ $\frac{1}{2 a}$ A = ، بتعويض x = -a ينتج أنّ B = $\frac{- 1}{2 a}$ ،

$\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$ = $\frac{1}{2 a (x - a)}$ + $\frac{- 1}{2 a (x + a)}$

إذن:

$\frac{1}{x^{2} - a^{2}}$ = $\frac{1}{2 a (x - a)}$ - $\frac{1}{2 a (x + a)}$

20) إذا كان $\frac{3 p}{{(x + 3)}^{2}}$ - $\frac{p}{x + 3}$ = $\frac{5 x}{{(x + 3)}^{2}}$ ؛ فأجد قيمة p .

P = 5

21) إذا كان $\frac{8 p}{3 {(x - 1)}^{2}}$ + $\frac{p}{9 (x - 1)}$ - $\frac{p x - 37}{9 (x^{2} + 2)}$ = $\frac{x^{2} - 8 x + 7}{{(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)}$ ؛ فأجد قيمة p .

$\frac{(p x - 37) {(x - 1)}^{2} - p (x - 1) (x^{2} + 2) + 24 p (x^{2} + 2)}{9 {(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)}$ = $\frac{x^{2} - 8 x + 7}{{(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)}$

9(x² + 8x + 7) = (px – 37)(x – 1)² – p(x – 1) (x² + 2) + 24p(x² + 2)

بتعويض x = 1 ينتج أنّ:

9(1 + 8 + 7) = 24p(1 + 2)

144 = 72p

P = 2

$محرك الديزل$ هندسة ميكانيكية: يُستعمل الاقتران الآتي لتقدير درجة الحرارة لعادم محرّك ديزل:

R(x) = $\frac{2000 (4 - 3 x)}{(11 - 7 x) (7 - 4 x)}$ , 0 $\leq$ x $\leq$ 1

حيث x مقدار جهد المحرك، و R(x) درجة الحرارة بالفهرنهايت.

22) أجزىء الاقتران R(x) إلى كسور جزئية.

$\frac{2000 (4 - 3 x)}{(11 - 7 x) (7 - 4 x)}$ = $\frac{- 2000}{11 - 7 x}$ + $\frac{2000}{7 - 4 x}$ = $\frac{2000}{7 - 4 x}$ - $\frac{- 2000}{11 - 7 x}$

23) إذا كان R(x) يمثل الفرق بين اقتران أعلى درجة حرارة للعادم واقتران أقل درجة حرارة للعادم. أجد كلاً من الاقترانين مستعيناً بالفرع السابق.

اقتران أعلى درجة حرارة هو $\frac{2000}{7 - 4 x}$ ، اقتران أدنى درجة حرارة هو $\frac{2000}{11 - 7 x}$ .

24) أحل المسألة الواردة في بداية الدرس.