مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

توزيع ذي الحدين

(19) تبرير: إذا كان: $X ~ B (3, p)$ ، وكان: $P (X \geq 1) = \frac{215}{216}$ ، فأجد $P (X = 2)$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} P (X \geq 1) = 1 - P (X < 1) \\ = 1 - P (X = 0) \\ = 1 - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) (p)^{0} (1 - p)^{3} \\ \Rightarrow \frac{215}{216} = 1 - (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) (p)^{0} (1 - p)^{3} \\ \Rightarrow \frac{215}{216} = 1 - (1 - p)^{3} \\ \Rightarrow (1 - p)^{3} = 1 - \frac{215}{216} \\ \Rightarrow (1 - p)^{3} = \frac{1}{216} \\ \Rightarrow 1 - p = \frac{1}{6} \\ \Rightarrow p = 1 - \frac{1}{6} \\ \Rightarrow p = \frac{5}{6} \\ P (X = 2) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) {(\frac{5}{6})}^{2} {(\frac{1}{6})}^{1} \\ = \frac{75}{216} \end{aligned}$

(20) تبرير: إذا كان: $X ~ B (100, p)$ ، وكان التباين للمتغير العشوائي X هو 24، فأجد قيمة $p$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} V a r (X) = 100 p (1 - p) \\ \Rightarrow 24 = 100 p (1 - p) \\ \Rightarrow 24 = 100 p - 100 p^{2} \\ \Rightarrow 100 p^{2} - 100 p + 24 = 0 \\ \Rightarrow 25 p^{2} - 25 p + 6 = 0 \\ \Rightarrow (5 p - 3) (5 p - 2) = 0 \\ \Rightarrow p = \frac{3}{5}, p = \frac{2}{5} \end{aligned}$

(21) تحد: يتألف اختبار لمبحث الجغرافيا من 25 سؤالاً، جميعها من نوع الاختيار من متعدد، ولكل منها 4 بدائل، واحد منها فقط صحيح، ولكل فقرة 4 علامات. إذا أجاب رامي عن هذه الأسئلة جميعها بصورة عشوائية، فما احتمال أن يحصل على علامة 76 من 100؟

بما أن لكل فقرة 4 علامات، وحصل رامي على العلامة 76، معناه أن رامي قد أجاب بشكل صحيح على 19 فقرة من أصل 25 فقرة في هذا الاختبار.

بما أن كل فقرة لها 4 بدائل واحدة منها فقط صحيحة، إذن احتمال اختيار البديل الصحيح هو $\frac{1}{4}$

$\begin{aligned} P (X = 19) & = (\begin{matrix} 25 \\ 19 \end{matrix}) {(\frac{1}{4})}^{19} {(\frac{3}{4})}^{6} \\ = 0.00000011467 \end{aligned}$