طباعة الدرس

أتحقق من فهمي

المتجهات في الفضاء

نظام الأحداثيات ثلاثي الأبعاد

أتحقق من فهمي صفحة (111):

أعين كلاً من النقاط الآتية في نظام الأحداثيات ثلاثي الأبعاد:

$(-3,2,4)$ (a)

$(1,0,-4)$ (b)

$(5,-4,-2)$ (c)

$(-4,-2,3)$ (d)

---

المسافة بين نقطتين، وإحداثيات نقطة المنتصف في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (113):

إذا كانت: $\mathit{N}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{M}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{)}$، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) المسافة بين N وM.

$\begin{array}{rl}NM& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\\ & =\sqrt{(5-2{)}^2+(-3-1{)}^2+(6-(-6){)}^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13\end{array}$

(b) إحداثيات نقطة منتصف $\overline{MN}$.

لتكن K منتصف القطعة المستقيمة $\overline{MN}$، فتكون:

$K=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})=(\frac{2+5}{2},\frac{1-3}{2},\frac{-6+6}{2})=(\frac{7}{2},-1,0)$

---

مقدار المتجه في الفضاء

أتحقق من فهمي صفحة (114):

إذا كان: $A(-1,5,3),B(-5,3,-2)$، فأكتب المتجه $\overrightarrow{AB}$ بالصورة الإحداثية، ثم أجد مقداره.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1⟩=⟨-5-(-1),3-5,-2-3⟩=⟨-4,-2,-5⟩\\ & \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{16+4+25}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\end{array}$

---

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي هندسياً

أتحقق من فهمي صفحة (116):

في متوازي الأضلاع ABCD المجاور، إذا كانت F نقطة منتصف $\overline{\mathbf{B}\mathbf{C}}$، وG نقطة منتصف $\overline{\mathbf{D}\mathbf{C}}$، وكانت: $\overrightarrow{\mathbf{B}\mathbf{D}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{a}}$، وكانت: $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{D}}\mathbf{=}\overrightarrow{\mathbf{b}}$، وكانت: $\mathit{A}\mathit{E}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{E}\mathit{B}$، فاكتب كلاً مما يأتي بدلالة $\overrightarrow{\mathbf{a}}$ و$\overrightarrow{\mathbf{b}}$:

$\overrightarrow{AB}$ (a)

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}& =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{b}}+(-\overrightarrow{\mathrm{a}})\\ & =\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}}\end{array}$

$\overrightarrow{EB}$ (b)

$\begin{array}{rl}& AB=AE+EB=3EB+EB=4EB\Rightarrow EB=\frac{1}{4}AB\\ & \overrightarrow{EB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\\ & \Rightarrow \overrightarrow{EB}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}})=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{b}}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{a}}\end{array}$

$\overrightarrow{EF}$ (c)

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{EB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$

وذلك لأن $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ كون الشكل متوازي الأضلاع $=\overrightarrow{EB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{b}}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{b}}\\ & =\frac{3}{4}\overrightarrow{\mathrm{b}}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{a}}\end{array}$

---

جمع المتجهات وطرحها وضربها في عدد حقيقي جبرياً

أتحقق من فهمي صفحة (117):

إذا كان: $\overrightarrow{\mathbf{u}}\mathbf{=}\mathbf{⟨}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{⟩}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{=}\mathbf{⟨}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{⟩}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{w}}\mathbf{=}\mathbf{⟨}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{⟩}$، فأجد كلاً مما يأتي:

$3\overrightarrow{\mathrm{v}}-4\overrightarrow{\mathrm{u}}$ (a)

$\begin{array}{rl}3\overrightarrow{\mathrm{v}}-4\overrightarrow{\mathrm{u}}& =3⟨3,0,-5⟩-4⟨4,5,-3⟩\\ & =⟨9,0,-15⟩-⟨16,20,-12⟩=⟨-7,-20,-3⟩\end{array}$

$3\overrightarrow{\mathrm{u}}+5\overrightarrow{\mathrm{v}}-2\overrightarrow{\mathrm{w}}$ (b)

$\begin{array}{rl}3\overrightarrow{\mathrm{u}}+5\overrightarrow{\mathrm{v}}-2\overrightarrow{\mathrm{w}}& =3⟨4,5,-3⟩+5⟨3,0,-5⟩-2⟨9,-2,-5⟩\\ & =⟨12,15,-9⟩+⟨15,0,-25⟩+⟨-18,4,10⟩=⟨9,19,-24⟩\end{array}$

---

تساوي المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (117):

إذا كان: $\overrightarrow{u}=⟨20,2p-5,-12⟩,\overrightarrow{v}=⟨3q+8,0,3r⟩$، وكان: $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}$، فأجد قيمة كل من $r,q,p$.

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{u}}=\overrightarrow{\mathrm{v}}& \Rightarrow 20=3q+8 , 2p-5=0 , -12=3r\\ & \Rightarrow q=4,p=\frac{5}{2},r=-4\end{array}$

---

متجها الموقع والإزاحة

أتحقق من فهمي صفحة (119):

إذا كانت: $\mathit{A}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{B}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{14}\mathbf{)}$ نقاطاً في الفضاء، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) متجه موقع كل من النقاط: A وB وC.

$\overrightarrow{OA}=⟨-2,8,13⟩,\overrightarrow{OB}=⟨5,-7,-9⟩,\overrightarrow{OC}=⟨0,1,-14⟩$

(b) متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة C.

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=⟨-5,8,-5⟩$

(c) المسافة بين النقطة A والنقطة C.

$\begin{array}{rl}AC& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\\ & =\sqrt{(0-(-2){)}^2+(1-8{)}^2+(-14-13{)}^2}=\sqrt{4+49+729}=\sqrt{782}\end{array}$

---

كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية

أتحقق من فهمي صفحة (121):

اكتب كلاً من المتجهات الآتية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

$\overrightarrow{\mathrm{g}}=⟨9,0,-4⟩$ (a)

$\overrightarrow{\mathrm{g}}=9\hat{\mathrm{i}}-4\hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{AB}:A(2,-1,4),B(7,6,-2)$ (b)

$\overrightarrow{AB}=⟨7-2,6-(-1),-2-4⟩=⟨5,7,-6⟩=5\hat{ı}+7\hat{ȷ}-6\hat{\mathrm{k}}$

$4\overrightarrow{\mathrm{m}}-5\overrightarrow{\mathrm{f}}:\overrightarrow{\mathrm{m}}=-2\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{j}}-4\hat{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{f}}=3\hat{\mathrm{i}}-5\hat{\mathrm{j}}+6\hat{\mathrm{k}}$ (c)

$\begin{array}{rl}4\overrightarrow{\mathrm{m}}-5\overrightarrow{\mathrm{f}}=& 4(-2\hat{\mathrm{i}}+3\hat{ȷ}-4\hat{\mathrm{k}})-5(3\hat{\mathrm{i}}-5\hat{ȷ}+6\hat{\mathrm{k}})\\ & =(-8-15)\hat{\mathrm{i}}+(12+25)\hat{ȷ}+(-16-30)\hat{\mathrm{k}}\\ & =-23\hat{\mathrm{i}}+37\hat{ȷ}-46\hat{\mathrm{k}}\end{array}$

---

إيجاد متجه وحدة في اتجاه أي متجه

أتحقق من فهمي صفحة (122):

أجد متجه وحدة في اتجاه كل متجه مما يأتي:

$\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨4,-3,5⟩$ (a)

$\begin{array}{rl}\left|\overrightarrow{\mathrm{u}}\right|& =\sqrt{16+9+25}\\ & =\sqrt{50}\\ & =5\sqrt{2}\\ \hat{\mathrm{u}}& =\frac{1}{5\sqrt{2}}\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨\frac{4}{5\sqrt{2}},\frac{-3}{5\sqrt{2}},\frac{5}{5\sqrt{2}}⟩\\ & =⟨\frac{2}{5}\sqrt{2},\frac{-3}{5\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}⟩\end{array}$

وهذا متجه وحدة في $\overrightarrow{\mathrm{u}}$

$\overrightarrow{\mathrm{v}}=8\hat{\mathrm{i}}+15\hat{\mathrm{j}}-17\hat{\mathrm{k}}$ (b)

$\begin{array}{rl}& \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{64+225+289}\\ & =\sqrt{578}=17\sqrt{2}\\ & \begin{array}{rl}\hat{\mathrm{v}}=& \frac{1}{17\sqrt{2}}\overrightarrow{\mathrm{v}}=\frac{8}{17\sqrt{2}}\hat{\mathrm{i}}+\frac{15}{17\sqrt{2}}\hat{\mathrm{j}}-\frac{17}{17\sqrt{2}}\hat{\mathrm{k}}\\ & =\frac{8}{17\sqrt{2}}\hat{\mathrm{i}}+\frac{15}{17\sqrt{2}}\hat{\mathrm{l}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\mathrm{k}}\end{array}\end{array}$

وهذا متجه وحدة في $\overrightarrow{\mathrm{v}}$

$\overrightarrow{AB}:A(-1,4,6),B(3,3,8)$ (c)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨3-(-1),3-4,8-6⟩=⟨4,-1,2⟩\\ & \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}\end{array}$

ليكن $\hat{\mathrm{u}}$ متجه وحدة في اتجاه $\overrightarrow{AB}$، فيكون:

 $\hat{\mathrm{u}}=\frac{1}{\sqrt{21}}\overrightarrow{AB}=⟨\frac{4}{\sqrt{21}},\frac{-1}{\sqrt{21}},\frac{2}{\sqrt{21}}⟩$