أتدرب وأحل المسائل

أتدرب وأحل المسائل

الاقترانات المثلثية

أجد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية Ɵ في كلّ ممّا يأتي:

$الاقترانات المثلثية$

$\begin{aligned} x = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2} \\ s i n θ = \frac{1}{3}, c o s θ = \frac{2 \sqrt{2}}{3}, t a n θ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ c s c θ = 3, s e c θ = \frac{3}{2 \sqrt{2}}, c o t θ = 2 \sqrt{2} \end{aligned}$

$الاقترانات المثلثية$

$\begin{array}{ll} x = \sqrt{(18)^{2} - (9)^{2}} = 4 \sqrt{14} \\ s i n θ = \frac{2 \sqrt{14}}{9}, & c o s θ = \frac{5}{9}, t a n θ = \frac{2 \sqrt{14}}{5} \\ c s c θ = \frac{9}{2 \sqrt{14}}, & s e c θ = \frac{9}{5}, c o t θ = \frac{5}{2 \sqrt{14}} \end{array}$

$الاقترانات المثلثية$

$\begin{aligned} x = \sqrt{(26)^{2} - (14)^{2}} = 4 \sqrt{30} \\ s i n θ = \frac{2 \sqrt{30}}{13}, c o s θ = \frac{7}{13}, t a n θ = \frac{2 \sqrt{30}}{7} \\ c s c θ = \frac{13}{2 \sqrt{30}}, s e c θ = \frac{13}{7}, c o t θ = \frac{7}{2 \sqrt{30}} \end{aligned}$

تقع النقطة المعطاة في كلّ مما يأتي على ضلع انتهاء الزاوية Ɵ المرسومة في الوضع القياسي. أجد قيم الاقترانات المثلثية الستة للزاوية Ɵ .

4) (-12, 5)

$\begin{aligned} r = \sqrt{144 + 25} = 13 \\ s i n θ = \frac{5}{13}, c o s θ = - \frac{12}{13}, t a n θ = - \frac{5}{12} \\ c s c θ = \frac{13}{5}, s e c θ = - \frac{13}{12}, c o t θ = - \frac{12}{5} \end{aligned}$

5) (3, -3)

$\begin{aligned} r = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2} \\ s i n θ = - \frac{1}{\sqrt{2}}, c o s θ = \frac{1}{\sqrt{2}}, t a n θ = - 1 \\ c s c θ = - \sqrt{2}, s e c θ = \sqrt{2}, c o t θ = - 1 \end{aligned}$

6) (-2, -5)

$\begin{aligned} r = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \\ s i n θ = - \frac{5}{\sqrt{29}}, c o s θ = - \frac{2}{\sqrt{29}}, t a n θ = \frac{5}{2} \\ c s c θ = - \frac{\sqrt{29}}{5}, s e c θ = - \frac{\sqrt{29}}{2}, c o t θ = \frac{2}{5} \end{aligned}$

7) (3, 7)

$\begin{aligned} r = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \\ s i n θ = \frac{7}{\sqrt{58}}, c o s θ = \frac{3}{\sqrt{58}}, t a n θ = \frac{7}{3} \\ c s c θ = \frac{\sqrt{58}}{7}, s e c θ = \frac{\sqrt{58}}{3}, c o t θ = \frac{3}{7} \end{aligned}$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

8) sec 135^o

$s e c 135^{\circ} = - s e c 45^{\circ} = - \sqrt{2}$

9) $\tan (- \frac{3 π}{4})$

$\tan - \frac{3 π}{4} = - \tan \frac{3 π}{4} = 1$

10) $\cot (\frac{8 π}{3})$

$\cot \frac{8 π}{3} = \cot \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

11) $\cos (\frac{7 π}{4})$

$\cos \frac{7 π}{4} = \cos \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

12) $\sec (\frac{15 π}{4})$

$\sec \frac{15 π}{4} = \sec \frac{π}{4} = \sqrt{2}$

13) csc (-630^o)

$\csc - 630^{\circ} = \csc 90^{\circ} = 1$

14) tan 7π

$\tan 7 π = \tan π = 0$

15) $\sin (- \frac{2 π}{3})$

$\sin - \frac{2 π}{3} = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

أجد قيمة كل من الاقترانات المثلثية الخمسة المتبقية للزاوية Ɵ في كلّ ممّا يأتي:

16) $\cos θ = - \frac{7}{12}, \tan θ > 0$

$\begin{aligned} r = \sqrt{144 - 49} = \sqrt{95} \\ s i n θ = - \frac{\sqrt{95}}{12}, t a n θ = \frac{\sqrt{95}}{7} \\ c s c θ = - \frac{12}{\sqrt{95}}, s e c θ = - \frac{12}{7}, c o t θ = \frac{7}{\sqrt{95}} \end{aligned}$

17) $\sec θ = 5, \sin θ < 0$

$\begin{aligned} r = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} \\ s i n θ = - \frac{\sqrt{24}}{5}, t a n θ = - \sqrt{24} \\ c s c θ = - \frac{5}{\sqrt{24}}, c o s θ = \frac{1}{5}, c o t θ = - \frac{1}{\sqrt{24}} \end{aligned}$

18) $\cot θ = \frac{1}{4}, \sin θ < 0$

$\begin{aligned} r = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \\ s i n θ = - \frac{4}{\sqrt{17}}, t a n θ = 4, c s c θ = - \frac{\sqrt{17}}{4}, c o s θ = - \frac{1}{\sqrt{17}}, s e c θ = - \sqrt{17} \end{aligned}$

19) $\csc θ = 2, c os θ > 0$

$\begin{aligned} r = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \\ s i n θ = \frac{1}{2}, t a n θ = \frac{1}{\sqrt{3}}, c o t θ = \sqrt{3}, c o s θ = \frac{\sqrt{3}}{2}, s e c θ = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

(20) بكرة: يمثل الاقتران: y = 20 + sin (10t) الارتفاع الرأسي عن سطح الأرض بالسنتيمترات لسِنّ بكرة دراجة هوائية بعد t ثانية من بدء حركة الدارجة. أجد الارتفاع الرأسي لسِنّ البكرة بعد 2.5 ثانية من بدء حركة الدرّاجة.

$y = 20 + s i n 10 (2.5) = 20 + s i n 25 \approx 19.87 cm$

إذا كان: cos $\frac{π}{12}$ = 0.966 لأقرب ثلاث منازل عشرية فأستعمل هذه الحقيقة لإيجاد قيمة كلّ ممّا يأتي:

21) cos $\frac{13 π}{12}$

$c o s \frac{13 π}{12} = - c o s \frac{π}{12} = - 0.966$

22) cos $\frac{11 π}{12}$

$\cos \frac{11 π}{12} = - \cos \frac{π}{12} = - 0.966$

23) cos $\frac{- π}{12}$

$\cos \frac{- π}{12} = \cos \frac{π}{12} = 0.966$

24) cos $\frac{23 π}{12}$

$\cos \frac{23 π}{12} = \cos \frac{π}{12} = 0.966$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي:

25) ${(\cos \frac{3 π}{4})}^{2} + {(\sin \frac{4 π}{3})}^{2} + {(\cos \frac{5 π}{4})}^{2}$

${(c o s \frac{3 π}{4})}^{2} + {(s i n \frac{4 π}{3})}^{2} + {(c o s \frac{5 π}{4})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} + \frac{1}{2} = \frac{7}{4}$

26) $\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{2 π}{3} + \sin π - \sin \frac{4 π}{3} + \sin \frac{5 π}{3} - \sin 2 π$

$\sin \frac{π}{3} - \sin \frac{2 π}{3} + \sin π - \sin \frac{4 π}{3} + \sin \frac{5 π}{3} - \sin 2 π = 0$

يبين الشكل المجاور قطاعاً دائرياً، طول نصف قطره r، وطول قوسه 2r . إذا كانت مساحة الجزء المظلل من القطاع 24 cm² ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

$قطاع دائري$

(27) طول نصف قطر القطاع.

نفترض Ɵ زاوية القطاع.

$\begin{aligned} l = r θ \to 2 r = r θ \to θ = 2 \\ A = \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} s i n θ \to 24 = \frac{1}{2} r^{2} (2) - \frac{1}{2} r^{2} s i n 2 \\ \to r = \sqrt{\frac{48}{2 - s i n 2}} \approx 6.6 cm \end{aligned}$

(28) محيط الجزء المظلل.

نفترض طول الضلع الثالث في المثلث الأبيض يساوي h

نجد عن طريق قانون جيب التمام أو بإنزال عمود من رأس المثلث المتطابق الضلعين على القاعدة.

فنجد h = 2r sin 1

محيط الشكل المظلل:

$P = 2 r + h = 2 r + 2 r s i n 1 \approx 24.3 cm$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي (إن وجدت):

29) $\sin^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

$s i n^{- 1} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) = - \frac{π}{3}$

30) tan^-1 (-1)

$\tan^{- 1} (- 1) = - \frac{π}{4}$

31) $\tan^{- 1} (\sqrt{3})$

$\tan^{- 1} (\sqrt{3}) = \frac{π}{3}$

32) cos^-1 (2)

$\cos^{- 1} (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{π}{4}$