أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي

تكامل اقترانات خاصة

تكامل الاقتران الأسي الطبيعي، واقتران الجيب، واقتران جيب التمام

أتحقق من فهمي صفحة (43):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (5 x^{2} + 7 e^{x}) d x$ (a)

$\int (5 x^{2} + 7 e^{x}) d x = \frac{5}{3} x^{3} + 7 e^{x} + C$

$\int (9 \cos x + \frac{4}{x^{3}}) d x$ (b)

$\begin{aligned} \int (9 \cos x + \frac{4}{x^{3}}) d x & = \int (9 \cos x + 4 x^{- 3}) d t \\ = 9 \sin x - 2 x^{- 2} + C \\ = 9 \sin x - \frac{2}{x^{2}} + C \end{aligned}$

$\int (\sqrt[3]{x} - \sin x) d x$ (c)

$\begin{aligned} \int (\sqrt[3]{x} - \sin x) d x & = \int (x^{\frac{1}{3}} - \sin x) d x \\ = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \cos x + C \end{aligned}$

تكامل الاقتران اللوغريتمي الطبيعي

أتحقق من فهمي صفحة (45):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (\frac{1}{x} + 8 e^{x}) d x$ (a)

$\int (\frac{1}{x} + 8 e^{x}) d x = \ln | x | + 8 e^{x} + C$

$\int (\sin x - \frac{5}{x}) d x$ (b)

$\int (\sin x - \frac{5}{x}) d x = - \cos x - 5 \ln | x | + C$

$\int \frac{x^{2} - 7 x + 2}{x^{2}} d x$ (c)

$\begin{aligned} \int \frac{x^{2} - 7 x + 2}{x^{2}} d x & = \int (\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}) d x \\ = \int (1 - \frac{7}{x} + 2 x^{- 2}) d x \\ = x - 7 \ln | x | - x^{- 1} + C \\ = x - 7 \ln | x | - \frac{1}{x} + C \end{aligned}$

تكامل اقترانات أساسية في صورة f(ax+b)

أتحقق من فهمي صفحة (47):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (7 x - 5)^{6} d x$ (a)

$\begin{aligned} \int (7 x - 5)^{6} d x & = \frac{1}{7} \times \frac{1}{7} (7 x - 5)^{7} + C \\ = \frac{1}{49} (7 x - 5)^{7} + C \end{aligned}$

$\int \sqrt{2 x + 1} d x$ (b)

$\begin{aligned} \int \sqrt{2 x + 1} d x & = \int (2 x + 1)^{\frac{1}{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{1}{3} (2 x + 1)^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$

$\int 4 \cos (3 x - 7) d x$ (c)

$\begin{aligned} \int 4 \cos (3 x - 7) d x & = \frac{1}{3} \times 4 \sin (3 x - 7) + C \\ = \frac{4}{3} \sin (3 x - 7) + C \end{aligned}$

$\int (\sin 5 x + e^{2 x}) d x$ (d)

$\begin{aligned} \int (\sin 5 x + e^{2 x}) d x & = \frac{1}{5} x - \cos 5 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C \\ = - \frac{1}{5} \cos 5 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C \end{aligned}$

$\int (6 x^{2} - 3 e^{7 x + 1}) d x$ (e)

$\int (6 x^{2} - 3 e^{7 x + 1}) d x = 2 x^{3} - \frac{3}{7} e^{7 x + 1} + C$

$\int \frac{5}{3 x + 2} d x$ (f)

$\int \frac{5}{3 x + 2} d x = \frac{5}{3} \ln | 3 x + 2 | + C$

أتحقق من فهمي صفحة (49):

سكان: أشارت دراسة إلى أن عدد السكان في إحدى القرى يتغير سنوياً بمعدل يمكن نمذجته $P^{'} (t) = 105 e^{0.03 t}$ ، حيث $t$ عدد السنوات منذ عام 2010 م، و $P (t)$ عدد السكان. أجد عدد سكان القرية عام 2020 م، علماً بأن عدد سكانها عام 2010 م هو 3500 شخص.

أولاً نجد تكامل الاقتران $P^{'} (t)$

$\begin{aligned} P (t) = \int 105 e^{0.03 t} d t & = \frac{105}{0.03} e^{0.03 t} + C \\ = 3500 e^{0.03 t} + C \end{aligned}$

ثانياً، نجد ثابت التكامل C:

بما أن عدد سكان المدينة عام 2010 هو 3500 شخص إذن $P (0) = 3500$

$\begin{aligned} P (t) = 3500 e^{0.03 t} + C \\ P (0) = 3500 e^{0} + C \\ 3500 = 3500 + C \\ C = 0 \\ P (t) = 3500 e^{0.03 t} \end{aligned}$

ثالثاً، نجد سكان المدينة عام 2020 (أي بعد 10 سنوات):

$\begin{aligned} P (10) & = 3500 e^{0.03 (10)} \\ \approx 4725 \end{aligned}$

إذن، عدد سكان المدينة عام 2020 هو 4725 ساكناً.

تكامل اقترانات في صورة $\frac{f^{'} (x)}{f (x)}$

أتحقق من فهمي صفحة (50):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x} d x$ (a)

$\int \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x} d x = \ln | x^{2} + 3 x | + C$

$\int \frac{9 x^{2}}{x^{3} + 8} d x$ (b)

$\begin{aligned} \int \frac{9 x^{2}}{x^{3} + 8} d x & = \int \frac{3 (3 x^{2})}{x^{3} + 8} d x \\ = 3 \int \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 8} d x \\ = 3 \ln | x^{3} + 8 | + C \end{aligned}$

$\int \frac{x + 1}{4 x^{2} + 8 x} d x$ (c)

$\begin{aligned} \int \frac{x + 1}{4 x^{2} + 8 x} d x & = \int \frac{\frac{1}{8} (8 x + 8)}{4 x^{2} + 8 x} d x \\ = \frac{1}{8} \int \frac{8 x + 8}{4 x^{2} + 8 x} d x \\ = \frac{1}{8} \ln | 4 x^{2} + 8 x | + C \end{aligned}$

$\int \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} d x$ (d)

$\int \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} d x = \int \frac{\frac{1}{3} (3 e^{3 x})}{e^{3 x} + 5} d x = \frac{1}{3} \ln | e^{3 x} + 5 | + C$

التكاملات المحدودة للاقترانات الخاصة

أتحقق من فهمي صفحة (51):

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int_{0}^{2} (4 e^{2 x} + 7) d x$ (a)

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} (4 e^{2 x} + 7) d x & = {(2 e^{2 x} + 7 x) |}_{0}^{2} \\ = (2 e^{2 (2)} + 7 (2)) - (2 e^{2 (0)} + 7 (0)) \\ = 2 e^{4} + 12 \end{aligned}$

$\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{6 x + 1}} d x$ (b)

$\begin{aligned} \int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{6 x + 1}} d x & = \int_{0}^{4} (6 x + 1)^{- \frac{1}{2}} d x \\ = \frac{1}{6} \times {2 (6 x + 1)^{\frac{1}{2}} |}_{0}^{4} \\ = {\frac{1}{3} \sqrt{6 x + 1} |}_{0}^{4} \\ = (\frac{1}{3} \sqrt{6 (4) + 1}) - (\frac{1}{3} \sqrt{6 (0) + 1}) \\ = \frac{4}{3} \end{aligned}$

$\int_{0}^{4} \frac{8 x}{x^{2} + 1} d x$ (c)

$\begin{aligned} \int_{0}^{4} \frac{8 x}{x^{2} + 1} d x & = \int_{0}^{4} \frac{4 (2 x)}{x^{2} + 1} d x \\ = 4 \int_{0}^{4} \frac{(2 x)}{x^{2} + 1} d x \\ = {4 \ln | x^{2} + 1 | |}_{0}^{4} \\ = (4 \ln | (4)^{2} + 1 |) - (4 \ln | (0)^{2} + 1 |) \\ = 4 \ln 17 \end{aligned}$