حل نظام مكوّن من ثلاث معادلات خطية

مثال: حل نظام المعادلات الآتي:

2x + y - z = -3………… ①

x - y+2z = 9………… ②

5x + 2y + 4z = 13………… ③

الحل:

خطوة (1):  نرتب المعادلات بحيث تكون المتغيرات في طرف والثوابت في طرف ، ونلاحظ أن المعادلات في هذا المثال مرتبة

خطوة (2): نحدد المتغير الذي نريد حذفه أولاً وليكن المتغير (y) مثلاً.

خطوة (3): نحل المعادلتين ① ، ② ونتخلص من (y) على النحو الآتي:

2x+y-z= -3

x-y+2z=9

____________________________

3x+z=6  …………. ④

خطوة (4):نحل المعادلة ③ مع أي من المعادلتين ونتخلص من المتغير (y) مرة أخرى.

مثلاً دعنا نقوم بحل المعادلة ③ مع المعادلة ② ، ولكن حتى نتمكن من حذف (y) سنضرب المعادلة ② بالعدد (2) فتصبح:

2x-2y+4z=18

5x+2y+4z=13

___________________________

7x+8z=31………… ⑤

الآن أصبح لدينا نظام مكون من المعادلتين ④ ، ⑤ ، وبمتغيرين فقط (x) ، (z)

خطوة (6): نحل المعادلتين ④ ، ⑤، ولنحذف المتغير (z) ، لذلك سنضرب المعادلة ④ ب (-8) ثم نجمعها مع المعادلة ⑤، فتصبح:

-24x - 8z = -48

7x + 8z = 31

___________________________

-17x= -17

الآن نجد قيمة (x)                                                                           

x=1     

خطوة (7): نعوَض قيمة المتغير (x) في المعادلة ④ لنجد قيمة (z) ، على النحو الآتي:

3x + z = 6

 3 (1) + z = 6

3 + z = 6

z = 3

خطوة (8): نعوض قيمة كل من المتغيرين (x) ، (z) في معادلة ① لإيجاد قيمة المتغير (y) فتصبح:

2x + y - z = -3

2 (1) + y - 3 = -3

y - 1= -3

y= -2

إذن حل النظام هو:

(x , y , z) =( 1 , -2  , 3  )

لفهم الدرس بصورة أفضل شاهد شرح الدرس هنا

القسم الأول

القسم الثاني