مسألة اليوم

مسألة اليوم

التكامل بالكسور الجزئية

$التكامل بالكسور الجزئية$ يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران: $f (x) = \frac{1}{x^{3} + x}$ .

أجد مساحة المنطقة المظللة منه.

$A = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3} + x} d x$

لإيجاد قيمة هذا التكامل نجزىء المقدار إلى كسور جزئية يمكن إيجاد تكاملاتها بسهولة كما يأتي:

$\begin{aligned} \frac{1}{x^{3} + x} = \frac{1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1} \\ \Rightarrow 1 = A (x^{2} + 1) + (B x + C) (x) \\ x = 0 \Rightarrow A = 1 \\ x = 1 \Rightarrow 1 = 2 A + B + C \Rightarrow 1 = 2 + B + C \\ x = - 1 \Rightarrow 1 = 2 A + B - C \Rightarrow 1 = 2 + B - C \end{aligned}$

بحل هاتين المعادلتين نجد أن: B = -1 , C = 0

$\begin{aligned} A = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3} + x} d x & = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}) d x \\ = l n | x | - {\frac{1}{2} l n | x^{2} + 1 | |}_{1}^{2} \\ = l n 2 - \frac{1}{2} l n 5 - l n 1 + \frac{1}{2} l n 2 \\ = \frac{3}{2} l n 2 - \frac{1}{2} l n 5 = \frac{1}{2} l n \frac{8}{5} \end{aligned}$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

12 / 02 / 2023

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2024