مسألة اليوم

المساحات والحجوم

معتمداً الشكل المجاور الذي يبين منحنيي الاقترانين: $f\left(x\right)=-2\cos x+4$، و$h\left(x\right)=2\cos x+2$:

(1) أجد إحداثيي كل من النقاط: $A,B,C,D$.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=h\left(x\right)\\ & -2\cos x+4=2\cos x+2\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\end{array}$

الإحداثي x للنقطة A هو أكبر حل سالب لهذه المعادلة وهو $x=-\frac{\pi }{3}$

$\Rightarrow A(-\frac{\pi }{3},f(-\frac{\pi }{3}))=(-\frac{\pi }{3},3)$

إحداثيا x للنقطتين B.C هما أصغر حلين موجبين للمعادلة، وهما: $x=\frac{\pi }{3}$ و$x=\frac{5\pi }{3}$

$\Rightarrow B(\frac{\pi }{3},f\left(\frac{\pi }{3}\right))=(\frac{\pi }{3},3),C(\frac{5\pi }{3},f\left(\frac{5\pi }{3}\right))=(\frac{5\pi }{3},3)$

(2) أجد مساحة كل من المنطقة $R_1$، و المنطقة $R_2$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}A\left(R_1\right)& ={\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}\left(h\right(x)-f(x\left)\right)dx\\ & ={\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}(2cosx+2-(-2cosx+4\left)\right)dx={\int }_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}(4cosx-2)dx\\ & =4sinx-{2x|}_{-\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{3}}=2\sqrt{3}-\frac{2\pi }{3}-(-2\sqrt{3}+\frac{2\pi }{3})=4\sqrt{3}-\frac{4\pi }{3}\end{array} \\ \begin{array}{rl}A\left(R_2\right)& ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{5\pi }{3}}\left(f\right(x)-h(x\left)\right)dx\\ & ={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{5\pi }{3}}(-2cosx+4-(2cosx+2\left)\right)dx={\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{5\pi }{3}}(2-4cosx)dx\\ & =2x-{4sinx|}_{\frac{5\pi }{3}}^{\frac{5\pi }{3}}\\ & =\frac{10\pi }{3}+2\sqrt{3}-(\frac{2\pi }{3}-2\sqrt{3})\\ & =4\sqrt{3}+\frac{8\pi }{3}\end{array} \end{gathered}$$