أتحقق من فهمي

العمليات على الأعداد المركبة

جمع الأعداد المركبة وطرحها

أتحقق من فهمي صفحة 156

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي:

(a) (7 + 8i) + (-9 + 14i)

$(7+8i)+(-9+14i)=-2+22i$

(b) (11 + 9i) - (4 - 6i)

$(11+9i)-(4-6i)=7+15i$

ضرب الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 157

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

(a) -3i(4 – 5i)

$-3i(4-5i)=-12i+15i^2=-15-12i$

(b) (5 + 4i) (7 – 4i)

$(5+4i)(7-4i)=35-20i+28i-16i^2=35+8i+16=51+8i$

(c) (3 + 6i)2

$(3+6i{)}^2=9+36i+36i^2=9+36i-36=-27+36i$

قسمة الأعداد المركبة

أتحقق من فهمي صفحة 158

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي، ثم أكتبه بالصورة القياسية:

(a) $\frac{-4+3i}{1+i}$

$\begin{array}{rl}\frac{-4+3i}{1+i}& =\frac{-4+3i}{1+i}\times \frac{1-i}{1-i}\\ & =\frac{-4+4i+3i-3i^2}{1-i^2}\\ & =\frac{-4+7i+3}{1+1}\\ & =\frac{-1+7i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i\end{array}$

(b) $\frac{2-6i}{-3i}$

$\begin{array}{rl}\frac{2-6i}{-3i}=& \frac{2-6i}{-3i}\times \frac{i}{i}\\ & =\frac{2i-6i^2}{-3i^2}\\ & =\frac{2i+6}{3}=2+\frac{2}{3}i\end{array}$

(c) $\frac{7i}{4-4i}$

$\begin{array}{rl}& \frac{7i}{4-4i}=\frac{7i}{4-4i}\times \frac{4+4i}{4+4i}\\ & =\frac{28i+28i^2}{16-16i^2}\\ & =\frac{28i-28}{16+16}\\ & =\frac{28i-28}{32}=-\frac{7}{8}+\frac{7}{8}i\\ & \end{array}$

ضرب الأعداد المركبة المكتوبة بالصورة المثلثية وقسمتها

أتحقق من فهمي صفحة 160

أجد ناتج كلّ ممّا يأتي بالصورة المثلثية:

(a) $6(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})\times 2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$

$\begin{array}{rl}& 6(cos \frac{\pi }{3}+isin \frac{\pi }{3})\times 2(cos \frac{\pi }{6}+isin \frac{\pi }{6})\\ & =6\times 2(cos (\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6})+isin (\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}))=12(cos \frac{\pi }{2}+isin \frac{\pi }{2})\end{array}$

(b) $6(\cos (-\frac{\pi }{3})+i\sin (-\frac{\pi }{3}))÷2(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6})$

$\begin{array}{rl}& 6(cos (-\frac{\pi }{3})+isin (-\frac{\pi }{3}))÷2(cos \frac{5\pi }{6}+isin \frac{5\pi }{6})\\ & =\frac{6}{2}(cos (-\frac{\pi }{3}-\frac{5\pi }{6})+isin (-\frac{\pi }{3}-\frac{5\pi }{6}))\\ & =3(cos (-\frac{7\pi }{6})+isin (-\frac{7\pi }{6}))\\ & =3(cos (-\frac{7\pi }{6}+2\pi )+isin (-\frac{7\pi }{6}+2\pi ))\\ & =3(cos \frac{5\pi }{6}+isin \frac{5\pi }{6})\end{array}$

الجذر التربيعي للعدد المركب

أتحقق من فهمي صفحة 161

أجد الجذرين التربيعيين لكل من الأعداد المركبة الآتية:

(a) -5 – 12i

$\begin{array}{rl}& \sqrt{-5-12i}=x+iy\to -5-12i=x^2+2ixy+i^2{y}^2\\ & \to -5-12i=x^2-y^2+2ixy\\ & \to -5=x^2-y^2,-12=2xy\\ & y=-\frac{6}{x}\\ & x^2-y^2=-5\to x^2-\frac{36}{x^2}=-5\\ & \to x^4+5x^2-36=0\\ & \to (x^2+9)(x^2-4)=0\to x=\pm 2\end{array}$

عندما x = 2 ، فإن y = -3 ، وعندما x = -2 ، فإن y = 3 .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب -5 – 12i هما: 2 – 3i , -2 + 3i

(b) -9i

$\begin{array}{rl}& \sqrt{-9i}=x+iy\to -9i=x^2+2ixy+i^2{y}^2\\ & \to -9i=x^2-y^2+2ixy\\ & \to 0=x^2-y^2,-9=2xy\\ & y=-\frac{9}{2x}\\ & x^2-y^2=0\to x^2-\frac{81}{4x^2}=0\\ & \to 4x^4-81=0\\ & \to (2x^2+9)(2x^2-9)=0\to x=\pm \frac{3}{\sqrt{2}}\end{array}$

عندما x = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ، فإن y = -$\frac{3}{\sqrt{2}}$ ، وعندما x = -$\frac{3}{\sqrt{2}}$ ، فإن y = $\frac{3}{\sqrt{2}}$ .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب  - 9i هما: $\frac{3}{\sqrt{2}}$ – $\frac{3}{\sqrt{2}}$i , -$\frac{3}{\sqrt{2}}$ + $\frac{3}{\sqrt{2}}$i

(c) $-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{rl}& \sqrt{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}i=x+iy\to -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=x^2+2ixy+i^2{y}^2\\ & \to -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=x^2-y^2+2ixy\\ & \to -\frac{1}{2}=x^2-y^2,\frac{\sqrt{3}}{2}=2xy\\ & y=\frac{\sqrt{3}}{4x}\\ & x^2-y^2=-\frac{1}{2}\to x^2-\frac{3}{16x^2}=-\frac{1}{2}\\ & \to 16x^4+8x^2-3=0\\ & \to (4x^2-1)(4x^2+3)=0\to x=\pm \frac{1}{2}\\ & \end{array}$

عندما x = $\frac{1}{2}$ ، فإن y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ، وعندما x = -$\frac{1}{2}$ ، فإن y = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

إذن الجذران التربيعيان للعدد المركب  -5 - 12i هما: $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$i , -$\frac{1}{2}$ - $\frac{\sqrt{3}}{2}$i

الجذور المركبة لمعادلات كثيرات الحدود

أتحقق من فهمي صفحة 165

أجد جميع الجذور الحقيقية والجذور المركبة للمعادلة: z³ – z² – 7z + 15 = 0

عوامل الحد الثابت هي: $\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15$

بالتعويض، نجد أن العدد -3 يحقق المعادلة؛ لأن: (-3)³ – (-3)² – 7(-3) + 15 = 0

إذن (z + 3) هو أحد عوامل كثير الحدود، نجري عملية القسمة، فنجد أنّ:

$\begin{array}{rl}& z^3-z^2-7z+15=(z+3)(z^2-4z+5)=0\\ & z=-3,z=\frac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}=2\pm i\end{array}$

إذن لهذه المعادلة ثلاثة جذور هي:

إذن لهذه المعادلة ثلاثة جذور هي: -3 , 2 + i , 2 - i

أتحقق من فهمي صفحة 165

إذا كان: 2 - i هو أحد جذور المعادلة: x² + ax + b = 0، فأجد قيمة كل من a و b .

$\begin{array}{rl}& x=2\pm i\\ & x-2=\pm i\\ & (x-2{)}^2=-1\\ & x^2-4x+4=-1\\ & x^2-4x+5=0\end{array}$

بمقارنة هذه المعادلة مع المعادلة المعطاة (x² + ax + b = 0) نجد أنّ: a = -4 , b = 5