أتحقق من فهمي

تكامل اقترانات خاصة

تكامل الاقترانات الأسيّة

أتحقق من فهمي صفحة 10

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int (5x^2-3e^{7x}) dx$

$\int (5x^2-3e^{7x}) dx=\frac{5}{3}{x}^3-\frac{3}{7}{e}^{7x}+C$

(b) ${\int }_0^{\ln 3}8e^{4x} dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\ln 3}8e^{4x} dx={\frac{8}{4}{e}^{4x}|}_0^{\ln 3}=2(e^{4\ln 3}-e^0)& =2(e^{\ln 3^4}-e^0)\\ & =2(81-1)=160\end{array}$

(c) $\int \sqrt{e^{1-x}} dx$

$\int \sqrt{e^{1-x}} dx=\int {\left(e^{1-x}\right)}^{1/2 }dx=\int e^{(1-x)/2} dx=-2e^{(1-x)/2}+C$

(d) $\int (3^x+2\sqrt{x}) dx$

$\int (3^x+2\sqrt{x}) dx=\frac{3^x}{\ln 3}+2\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right)+C=\frac{3^x}{\ln 3}+\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C$

تكامل الاقترانات المثلثية

أتحقق من فهمي صفحة 12

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int \cos (3x-\pi ) dx$

$\int cos (3x-\pi ) dx=\frac{1}{3}sin (3x-\pi )+C$

(b) $\int ({\csc }^2 (5x)+e^{2x}) dx$

$\int (cs{c}^2 (5x)+e^{2x}) dx=-\frac{1}{5}cot 5x+\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$

(c) ${\int }_0^{\pi /3}(\sin 2x-\cos 4x) dx$

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}(\sin 2x-\cos 4x) dx={(-\frac{1}{2}\cos 2x-\frac{1}{4}\sin 4x)|}_0^{\frac{\pi }{3}}\\ & =(-\frac{1}{2}\cos \frac{2\pi }{3}-\frac{1}{4}\sin \frac{4\pi }{3})-(-\frac{1}{2}\cos 0-\frac{1}{4}\sin 0)\\ & =(-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right))-(-\frac{1}{2}-0)\\ & =\frac{6+\sqrt{3}}{8}\end{array}$

المتطابقات المثلثية والتكامل

أتحقق من فهمي صفحة 14

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int {\cos }^4 x dx$

$\begin{array}{rl}& \int co{s}^4 x dx\\ & co{s}^4 x={(co{s}^2 x)}^2={\left(\frac{1+cos 2x}{2}\right)}^2\\ & =\frac{1}{4}(1+2cos 2x+co{s}^2 2x)\\ & =\frac{1}{4}(1+2cos 2x+\frac{1+cos 4x}{2})\\ & =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}cos 4x\\ & =\frac{3}{8}+\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}cos 4x\\ & \int co{s}^4 x dx=\int (\frac{3}{8}+\frac{1}{2}cos 2x+\frac{1}{8}cos 4x)dx\\ & =\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}sin 2x+\frac{1}{32}sin 4x+C\end{array}$

(b) ${\int }_0^{\pi /6}\sin 3x\sin x dx$

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sin 3x\sin x dx& ={\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\frac{1}{2}(\cos (3x-x)-\cos (3x+x\left)\right) dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}(\cos 2x-\cos 4x) dx\\ & ={(\frac{1}{4}\sin 2x-\frac{1}{8}\sin 4x)|}_0^{\frac{\pi }{6}}\\ & =(\frac{1}{4}\sin \frac{2\pi }{6}-\frac{1}{8}\sin \frac{4\pi }{6})-(0-0)=\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{16}\end{array}$

(c) $\int \frac{dx}{1+\cos x}$

$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{1+cos x}& =\int (\frac{1}{1+cos x}\times \frac{1-cos x}{1-cos x})dx\\ & =\int \frac{1-cos x}{si{n}^2 x} dx\\ & =\int (cs{c}^2 x-cot xcsc x) dx\\ & =-cot x+csc x+C\end{array}$

تكاملات ينتج منها اقتران لوغاريتمي طبيعي

أتحقق من فهمي صفحة 16

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

(a) $\int (\sin x-\frac{5}{x}) dx$

$\int (sin x-\frac{5}{x}) dx=-cos x-5ln \left|x\right|+C$

(b) $\int \frac{5}{3x+2} dx$

$\int \frac{5}{3x+2} dx=\frac{5}{3}\int \frac{3}{3x+2} dx=\frac{5}{3}ln |3x+2|+C$

(c) $\int \frac{x^2-7x+2}{x^2} dx$

$\int \frac{x^2-7x+2}{x^2} dx=\int (1-\frac{7}{x}+2x^{-2}) dx=x-7ln \left|x\right|-2x^{-1}+C$

(d) $\int \frac{2x+3}{x^2+3x} dx$

$\int \frac{2x+3}{x^2+3x} dx=ln |x^2+3x|+C$

(e) $\int \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} dx$

$\begin{array}{rl}\int \frac{sin 2x}{1+cos 2x} dx& =-\frac{1}{2}\int \frac{-2sin 2x}{1+cos 2x} dx\\ & =-\frac{1}{2}ln |1+cos 2x|+C\\ & =-\frac{1}{2}ln (1+cos 2x)+C\end{array}$

(f) $\int \cot x dx$

$\int cot x dx=\int \frac{cos x}{sin x} dx=ln |sin x|+C$

(g) $\int \frac{e^x}{e^x+7} dx$

$\int \frac{e^x}{e^x+7} dx=ln |e^x+7|+C=ln (e^x+7)+C$

(h) $\int \csc x dx$

$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{1+cos x}& =\int (\frac{1}{1+cos x}\times \frac{1-cos x}{1-cos x})dx\\ & =\int \frac{1-cos x}{si{n}^2 x} dx\\ & =\int (cs{c}^2 x-cot xcsc x) dx\\ & =-cot x+csc x+C\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة 17

أجد: $\int \frac{x^2+x+1}{x+1} dx$

$\int \frac{x^2+x+1}{x+1} dx=\int (x+\frac{1}{x+1}) dx=\frac{1}{2}{x}^2+ln |x+1|+C$

تكاملات الاقترانات المتشعبة

أتحقق من فهمي صفحة 19

(a) إذا كان: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1+x& ,x<1\\ 2x& ,x\ge 1\end{array}$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)dx$ .

$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^{3}f\left(x\right) dx& ={\int }_{-1}^1(1+x) dx+{\int }_1^{3}2x dx\\ & ={(x+\frac{1}{2}{x}^2)|}_{-1}^1+{x^2|}_1^3\\ & =(1+\frac{1}{2})-(-1+\frac{1}{2})+9-1=10\end{array}$

(b) إذا كان: $f\left(x\right)=|1-x|$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$ .

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}1-x,& x\le 1\\ x-1,& x>1\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{\int }_{-2}^{2}f\left(x\right) dx& ={\int }_{-2}^1(1-x) dx+{\int }_1^2(x-1) dx\\ & ={(x-\frac{1}{2}{x}^2)|}_{-2}^1+{(\frac{1}{2}{x}^2-x)|}_1^2\\ & =(1-\frac{1}{2})-(-2-2)+(2-2)-(\frac{1}{2}-1)=5\end{array}\end{array}$

(c) إذا كان: $f\left(x\right)=|x^2-1|$ ، فأجد قيمة: ${\int }_{-4}^{0}f\left(x\right)dx$ .

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{x}^2-1,x<-1\\ 1-x^2,-1\le x\le 1\\ x^2-1,x>1\end{array}\\ & {\int }_{-4}^{0}f\left(x\right) dx={\int }_{-4}^{-1}(x^2-1) dx+{\int }_{-1}^0(1-x^2) dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3-x)|}_{-4}^{-1}+{(x-\frac{1}{3}{x}^3)|}_{-1}^0\\ & =(-\frac{1}{3}+1)-(-\frac{64}{3}+4)+(0-0)-(-1+\frac{1}{3})\\ & =\frac{56}{3}\end{array}$

تطبيقات التكامل: الشرط الأولي

أتحقق من فهمي صفحة 20

تلوث: تسرب نفط من ناقلة بحرية، مكوناً بقعة دائرية الشكل على سطح الماء، نصف قطرها R(t) قدماً بعد t دقيقة من بدء التسرب. إذا كان نصف قطر الدائرة يزداد بمعدل: $R^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{21}{0.07t+5}$ ، فأجد R(t) ، علماً بأن R(0) = 0 .

$\begin{array}{rl}R\left(t\right)& =\int \frac{21}{0.07t+5} dt\\ & =\frac{21}{0.07}\int \frac{0.07}{0.07t+5} dt=300ln |0.07t+5|+C\\ R\left(0\right)& =300ln 5+C\\ 0& =300ln 5+C\Rightarrow C=-300ln 5\\ R\left(t\right)& =300ln |0.07t+5|-300ln 5=300ln \left|\frac{0.07t+5}{5}\right|\\ & =300ln |0.014t+1|\end{array}$

تطبيقات التكامل: الحركة في مسار مستقيم

أتحقق من فهمي صفحة 23

يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: v(t) = 3 cos t ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية:

(a) إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقع الجُسيم بعد $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$ ثانية من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\int v\left(t\right) dt=\int 3cos t dt=3sin t+C\\ & s\left(0\right)=3sin 0+C\\ & 0=3sin 0+C\Rightarrow C=0\\ & s\left(t\right)=3sin t\\ & s\left(\frac{\pi }{6}\right)=3sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=1.5\mathrm{m}\end{array}$

(b) أجد إزاحة الجسيم في الفترة [0, 2π] .

$s\left(2\pi \right)-s\left(0\right)=3sin \left(2\pi \right)-3sin \left(0\right)=0 \mathrm{m}$

(c) أجد المسافة الكلية التي قطعها الجسيم في الفترة [0, 2π] .

$\begin{array}{rl}& \left|v\right(t\left)\right|=|3cos t|=\{\begin{array}{c}3cos t,0\le t<\frac{\pi }{2}\\ -3cos t,\frac{\pi }{2}\le t\le \frac{3\pi }{2}\\ 3cos t,\frac{3\pi }{2}<t\le 2\pi \end{array}\\ & {\int }_0^{2\pi }\left|v\right(t\left)\right| dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}3cos t dx+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}-3cos t dx+{\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }3cos t dx\\ & ={3sin t|}_0^{\frac{\pi }{2}}-{3sin t|}_{\frac{\pi \pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}+{3sint |}_{\frac{3\pi }{2}}^{2\pi }\\ & =(3-0)-(-3-3)+(0-(-3\left)\right)=12m\end{array}$