أتحقق من فهمي

النهايات والاتصال

إيجاد النهايات بيانياً وعدديًا

أتحقق من فهمي صفحة (54):

أجد كلاً من النهايات الآتية بيانياً وعدديًا:

(a) $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^2-9}{x-3}$

الحل بيانياً:

الحل عددياً:

(b) $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right),f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x& ,x\le 0\\ 1& ,x>0\end{array}$

الحل بيانياً:

الحل عددياً:

نهايات تتضمن (المالانهاية)

أتحقق من فهمي صفحة (56):

أجد كلاً من النهايات الآتية بيانياً:

(a) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{x-2}$

غير موجودة.

(b) $\underset{x\to -3}{lim}\frac{1}{(x+3{)}^2}$ = $\infty$

إيجاد النهايات جبرياً

أتحقق من فهمي صفحة (58):

أستعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

(a) $\underset{x\to 1}{lim} \left(2x^3+3x^2-4\right)$

$\begin{array}{rl}\underset{x\to 1}{lim}(2x^3+& \underset{x\to 1}{lim}3x^2 -\underset{x\to 1}{lim}4)\end{array}$     

$2{\left(\underset{x\to 1}{lim}x\right)}^3+3{\left(\underset{x\to 1}{lim}x\right)}^2- 4$      

$2(1{)}^3+3(1{)}^2-4=1$      

(b) $\underset{x\to 4}{lim} \frac{\sqrt{1+3x^2}}{3x-2}$

$\frac{\underset{x\to 4}{lim}\sqrt{1 + {\left(3x\right)}^2}}{\underset{x\to 4}{lim}3\left(x\right) - 2}$ = $\begin{array}{rl}\underset{x\to 4}{lim}\frac{\sqrt{1 + 3x^2}}{3x - 2}& \end{array}$

 $\frac{\sqrt{1 + 3{\left(4\right)}^2}}{3\left(4\right) - 2}$ = $\frac{\sqrt{\underset{x\to 4}{lim}1 + 3(\underset{x\to 4}{lim x}}{)}^2}{3\underset{x\to 4}{lim}x -\underset{x\to 4}{lim 2}}$

 $\frac{7}{10}$ = $\frac{\sqrt{49}}{10}$

أتحقق من فهمي صفحة (59):

أجد كل نهاية ممّا يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فأذكر السبب:

(a) $\underset{x\to 2}{lim}(3x^2-5x+4)$

= 3(2)² – 5(2) + 4 = 6

(b) $\underset{x\to -1}{lim}\sqrt{1-4x^2}$

العدد (1) لا يقع ضمن مجال الاقتران فلذلك لا يمكن إيجاد النهاية بالتعويض المباشر.

(c) $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x^3-5x-6}{x^2-2}$

$\frac{3^3 - 5\left(3\right) - 6}{3^2 - 2}$ = $\frac{6}{7}$

(d) $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x^2-16}{x-4}$

$\underset{x\to 4}{lim}\frac{(x - 4)(x + 4)}{x-4}$ = $\underset{x\to 4}{lim} (x + 4)$ = 8

غير موجودة.

أتحقق من فهمي صفحة (61):

أجد كلّ نهاية ممّا يأتي:

(a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{7x-x^2}{x}$

 = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{x(7 - x)}{x}$ = $\underset{x\to 0}{lim (7 - }x)$ = 7

(b) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2-\sqrt{x+4}}{x}$

 = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2-\sqrt{x+4}}{x}$ x $\frac{2 + \sqrt{x + 4}}{2 + \sqrt{x + 4}}$

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{-x}{x(2 + \sqrt{x + 4})}$ = $\underset{x\to 0}{lim}\frac{-1}{2 + \sqrt{x + 4}}$ = $\frac{-1}{4}$ =  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{4- (x + 4)}{x(2 + \sqrt{x + 4})}$ = 

(c) $\underset{x\to 5}{lim}\frac{|x-5|}{x-5}$

$\underset{x\to 5+}{lim}\frac{x - 5}{x-5}$ = 1

$\underset{x\to 5-}{lim}\frac{5 - x}{x-5}$ = -1

$\underset{x\to 5}{lim}\frac{\left|x - 5\right|}{\left|x-5\right|}$ 

الاتصال

أتحقق من فهمي صفحة (64):

أحدّد إذا كان كلّ اقتران ممّا يأتي متصلاً عند قيمة x المعطاة، مبرراً إجابتي:

(a) $f\left(x\right)=x^5+2x^3-x, x=1$

الاقتران متصل عند x = 1 ؛ لأن $f\left(1\right) =\underset{x\leftarrow 1}{lim} f\left(x\right) = 6$

(b) $g\left(x\right)=\frac{x^2+16}{x-5}, x=5$

الاقتران غير متصل عند x = 5 ؛ لأن الاقتران غير معرف عند x = 5

(c) $h\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x-1& ,x<3\\ 5-x& ,x\ge 3\end{array}, x=3$

h(3) = 5 – 3 = 3

$\underset{x\to 3+}{lim}h\left(x\right) = 2$

$\underset{x\to 3-}{lim}h\left(x\right) = 2$

$\underset{x\to 3}{lim}h\left(x\right) = 2$

h(3) =$\underset{x\to 3}{lim}h\left(x\right) = 2$= 2

إذن الاقتران متصل عند x = 3

(d) $p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-25}{x-5}& ,x\ne 5\\ 10& ,x=5\end{array}, x=5$

p(5) = 10

$\underset{x\to 5}{lim p}\left(x\right) = \underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2 - 25}{x -5}$

             $= \underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x - 5)(x + 5)}{x -5}$

              = $\underset{x\to 5}{lim} (x + 5) = 10$

 p(5) = $\underset{x\to 5}{lim} p\left(x\right) = 10$

إذن الاقتران متصل عند x = 5