مهارات التفكير العليا

مهارات التفكير العليا

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

تبرير: إذا كان: $y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(34) أجد ميل المماس عند نقطة الأصل.

$\begin{aligned} y = \frac{1 - e^{- x}}{1 + e^{- x}} = \frac{1 - \frac{1}{e^{x}}}{1 + \frac{1}{e^{x}}} \\ = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{(e^{x} + 1) (e^{x}) - (e^{x} - 1) (e^{x})}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = \frac{2 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} \\ {\frac{d y}{d x} |}_{x = 0} = \frac{2 (1)}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

(35) أبيّن عدم وجود مماس أفقي للاقتران y مبرراً إجابتي.

إذا وجد مماس أفقي ميله يساوي صفراً، أي أنّ: $\frac{2 e^{x}}{{(e^{x} + 1)}^{2}} = 0$ ، وهذا لا يتحقق إلا إذا كان e^x = 0 ، ولكن e^x > 0 لجميع الأعداد الحقيقية x ، ولذا لا يوجد لهذا المنحنى مماسات أفقية.

تحدّ: إذا كان: $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ ، حيث: $x \neq 1$ فأجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعاً:

(36) أجد $\frac{d x}{d y}$ .

$\begin{aligned} y = \frac{x + 1}{x - 1} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (1) - (x + 1) (1)}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}} \end{aligned}$

(37) أعيد كتابة المعادلة بالنسبة إلى المتغير x (x اقتران بالنسبة إلى y)، ثم أجد $\frac{d x}{d y}$ .

$\begin{aligned} y = \frac{x + 1}{x - 1} \to x + 1 = y (x - 1) \to x (1 - y) = - y - 1 \\ x = \frac{y + 1}{y - 1} \\ \frac{d x}{d y} = \frac{- 2}{(y - 1)^{2}} \end{aligned}$

(38) أبيّن أنّ $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}}$

$\begin{aligned} \frac{d x}{d y} & = \frac{- 2}{(y - 1)^{2}} \\ = \frac{- 2}{{(\frac{x + 1}{x - 1} - 1)}^{2}} \\ = \frac{- 2}{{(\frac{2}{x - 1})}^{2}} = \frac{- 2}{\frac{4}{(x - 1)^{2}}} = \frac{(x - 1)^{2}}{- 2} = \frac{1}{\frac{d y}{d x}} \end{aligned}$

تبرير: إذا كان $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(39) أثبت أنّ $f^{''} (x) = \frac{6 \ln x - 5}{x^{4}}$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{aligned} f (x) & = \frac{l n x}{x^{2}} \\ f^{'} (x) & = \frac{x^{2} (\frac{1}{x}) - (l n x) (2 x)}{x^{4}} = \frac{1 - 2 l n x}{x^{3}} \\ f^{''} (x) & = \frac{x^{3} (- \frac{2}{x}) - (1 - 2 l n x) (3 x^{2})}{x^{6}} \\ = \frac{- 5 x^{2} + 6 x^{2} l n x}{x^{6}} \\ = \frac{- 5 + 6 l n x}{x^{4}} \end{aligned}$

(40) أجد قيمة المقدار: $x^{4} f^{''} (x) + 4 x^{3} f^{'} (x) + 2 x^{2} f (x) + 1$ .

$\begin{aligned} x^{4} f^{''} (x) + 4 x^{3} f^{'} (x) + 2 x^{2} f (x) + 1 \\ = x^{4} \times \frac{- 5 + 6 l n x}{x^{4}} + 4 x^{3} \times \frac{1 - 2 l n x}{x^{3}} + 2 x^{2} \times \frac{l n x}{x^{2}} + 1 \\ = - 5 + 6 l n x + 4 - 8 l n x + 2 l n x + 1 = 0 \end{aligned}$