إجابات كتاب التمارين

قاعدة السلسلة

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

(1) f(x) = 100e^-0.1x

f ’(x) = -10e^-0.1x

(2) f(x) = sin (x² + 1)

f ’(x) = 2x cos (x² + 1)

(3) f(x) = cos² x

f ’(x) = -2 cos x sin x = - sin 2x

(4) f(x) = cos2x – 2 cos x

f ’(x) = -2 sin 2x + 2 sin x

(5) f(x) = log₃ $\frac{x\sqrt{x - 1}}{2}$

f(x) = log₃ x + $\frac{1}{2}$ log₃ (x – 1) – log₃ 2

f ’(x) = $\frac{1}{x \ln 3}$ + $\frac{1}{2(x - 1) \ln 3}$

(6) f(x) = 2cot² (πx + 2)

f(x) = 2(cot (πx + 2))²

f ’(x) = -4π cot (πx + 2) csc² (πx + 2)

(7) f(x) = log 2x

f ’(x) = $\frac{2}{2x \ln 10}$ = $\frac{1}{x \ln 10}$

(8) f(x) = ln (x³ + 2)

f ’(x) = $\frac{3x^2}{x^3 + 2}$

(9) f(x) = ($\frac{x^2}{x^3 + 2}$)²

f ’(x) = 2 x $\frac{x^2}{x^3 + 2}$ x $\frac{2x (x^3 + 2) - 3x^4}{{(x^3 + 2)}^2}$

        = $\frac{2x^2}{x^3 + 2}$ x $\frac{4x - x^4}{{(x^3 + 2)}^2}$ = $\frac{8x^3 - 2x^6}{{(x^3 + 2)}^3}$

(10) f(x) = x² $\sqrt{20 - x}$

f ’(x) = x² x $\frac{-1}{2 \sqrt{20 - x}}$ + 2x $\sqrt{20 - x}$

         = $\frac{-x^2}{2 \sqrt{20 - x}}$ + 2x $\sqrt{20 - x}$ = $\frac{80x - 5x^2}{2 \sqrt{20 - x}}$

(11) f(x) = $\frac{\sin (2x + 1)}{e^{x^2}}$

f ’(x) = $\frac{2e^{x^2} \cos (2x + 1) - 2x{e}^{x^2} \sin (2x + 1) }{e^{2x^2}}$

        = $\frac{2 \cos (2x + 1) - 2x \sin (2x + 1) }{e^{x^2}}$

(12) f(x) = $3^{\cot x}$

f ’(x) = - ($3^{\cot x}$  ln 3) csc² x

أجد معادلة المماس لكل اقتران مما يأتي عند قيمة x المعطاة:

(13) y = 2 sin 5x – 4 cos 3x , x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

$\frac{dy}{dx}$ = 10 cos 5x + 12 sin 3x

ميل المماس:

${\overline{)\frac{dy}{dx}}}_{ (x=\frac{\mathrm{\pi }}{2})}$  = -12

عندما  x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ ، فإن y = 2

معادلة المماس:

  y – 2 = -12 (x - $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$)   →  y = -12x + 6π + 2

(14) f(x) = (x² + 2)³ , x = -1

f ’(x) = 6x (x² + 2)²

ميل المماس:

f ’(-1) = -54

x = -1 →  y = f(-1) = 27

معادلة المماس:

  y – 27 = -54 (x + 1)  →   y = -54x - 27

(15) f(x) = tan 3x , x = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

f ’(x) = 3 sec² 3x

ميل المماس:

f ’($\frac{\mathrm{\pi }}{4}$) = 6

x = $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$ →  y = f($\frac{\mathrm{\pi }}{4}$) = -1

معادلة المماس:

 y + 1 = 6 (x - $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$)   →  y = 6x - $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ - 1