أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الضرب والقسمة والمشتقات العليا

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f\left(x\right)=\frac{x^3}{2x-1}$

$\begin{array}{ll}& f\left(x\right)=\frac{x^3}{2x-1}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(2x-1)\left(3x^2\right)-\left(x^3\right)\left(2\right)}{(2x-1{)}^2}=\frac{4x^3-3x^2}{(2x-1{)}^2}\end{array}$

(2) $f\left(x\right)=x^3\sec x$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =x^{3}secx\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(x^3\right)(secx tanx)+(secx)\left(3x^2\right)\\ & =x^{3}secx tanx+3x^{2}secx\end{array}$

(3) $f\left(x\right)=\frac{x+1}{\cos x}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{x+1}{cosx}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(cosx)\left(1\right)-(x+1)(-sinx)}{(cosx{)}^2}=\frac{cosx+xsinx+sinx}{co{s}^{2}x}\end{array}$

(4) $f\left(x\right)=e^x(\tan x-x)$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =e^x(tanx-x)\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(e^x\right)(se{c}^{2}x-1)+(tanx-x)\left(e^x\right)\\ & =e^{x}ta{n}^{2}x+e^{x}tanx-x{e}^x\end{array}$

(5) $f\left(x\right)=\frac{\sin x+\cos x}{e^x}$

$\begin{array}{ll}& f\left(x\right)=\frac{sinx+cosx}{e^x}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\left(e^x\right)(cosx-sinx)-(sinx+cosx)\left(e^x\right)}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{-2sinx}{e^x}\end{array}$

(6) $f\left(x\right)=x^3\sin x+x^2\cos x$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =x^{3}sin x+x^{2}cos x\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(x^3\right)(cos x)+(sin x)\left(3x^2\right)+\left(x^2\right)(-sin x)+(cos x)\left(2x\right)\\ & =x^{3}cos x+2x^{2}sin x+2xcos x\end{array}$

(7) $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}(\sqrt{x}+3)$

$\begin{array}{ll}& f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}(\sqrt{x}+3)=x^{\frac{5}{6}}+3x^{\frac{1}{3}}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{5}{6}{x}^{-\frac{1}{6}}+x^{-\frac{2}{3}}=\frac{5}{6^6}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\end{array}$

(8) $f\left(x\right)=\frac{1+\sec x}{1-\sec x}$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\frac{1+secx}{1-sec x}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(1-sec x)(sec x tan x)-(1+sec x)(-sec x tan x)}{(1-sec x{)}^2}\\ & =\frac{2sec x tan x}{(1-sec x{)}^2}\end{array}$

(9) $f\left(x\right)=\frac{2-\frac{1}{x}}{x-3}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{2-\frac{1}{x}}{x-3}=\frac{2x-1}{x^2-3x}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(x^2-3x)\left(2\right)-(2x-1)(2x-3)}{{(x^2-3x)}^2}=\frac{-2x^2+2x-3}{{(x^2-3x)}^2}\end{array}$

(10) $f\left(x\right)=(x^3-x)(x^2+2)(x^2+x+1)$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=& (x^3-x)(x^2+2)(x^2+x+1)\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=& (x^3-x)\left((x^2+2)\right(2x+1)+(x^2+x+1)(2x\left)\right)\\ & +(x^2+2)(x^2+x+1)(3x^2-1)\\ =& (x^3-x)(x^2+2)(2x+1)+(x^3-x)(x^2+x+1)\left(2x\right)\\ & +(x^2+2)(x^2+x+1)(3x^2-1)\end{array}$

(11) $f\left(x\right)=(\csc x+\cot x{)}^{-1}$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =(cscx+cotx{)}^{-1}=\frac{1}{cscx+cotx}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{-1(-csc x cot x-cs{c}^2 x)}{(csc x+cot x{)}^2}\\ & =\frac{cscx cot x+cs{c}^2 x}{(csc x+cot x{)}^2}\\ & =\frac{csc x(cot x+csc x)}{(csc x+cot x{)}^2}\\ & =\frac{csc x}{cot x+csc x}\end{array}$

إذا كان f(x) و g(x) اقترانين قابلين للاشتقاق عندما x = 0 ، وكان:

 $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{f}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{g}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{g}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{2}$ فأجد كلاً ممّا يأتي:

(12) $\left(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\right(0)$

$\begin{array}{rl}\left(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\right(0)& =f\left(0\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)+g\left(0\right)f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)\\ & =5\times 2-1\times -3=13\end{array}$

(13) ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)$

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=\frac{g\left(0\right)f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)-f\left(0\right)g^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)}{g^2\left(0\right)}=\frac{-1\times -3-5\times 2}{(-1{)}^2}=-7$

(14) $(7f-2fg{)}^{\mathrm{\prime }}(0)$

$(7f-2fg{)}^{\mathrm{\prime }}(0)=7f^{\mathrm{\prime }}(0)-2(fg{)}^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=7(-3)-2\left(13\right)=-47$

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(15) $f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x^2+4} , x=-2$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\frac{x^2-4}{x^2+4}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(x^2+4)\left(2x\right)-(x^2-4)\left(2x\right)}{{(x^2+4)}^2}=\frac{16x}{{(x^2+4)}^2}\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)& =\frac{{(x^2+4)}^2\left(16\right)-\left(16x\right)\left(2\right){(x^2+4)}^1\left(2x\right)}{{(x^2+4)}^4}\\ & =\frac{\left(16\right)(x^2+4)-\left(16x\right)\left(2\right)\left(2x\right)}{{(x^2+4)}^3}\\ f^{\prime \prime }(-2)& =\frac{\left(16\right)\left(8\right)-(-32)\left(2\right)(-4)}{(8{)}^3}=-\frac{1}{4}\end{array}$

(16) $f\left(x\right)=\frac{1+x}{1+\sqrt[3]{x}} , x=8$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{1+x}{1+\sqrt[3]{x}}=\frac{(1+\sqrt[3]{x})(1-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2})}{1+\sqrt[3]{x}}=1-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^2}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}{x}^{-\frac{1}{3}}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{2}{9}{x}^{-\frac{5}{3}}-\frac{2}{9}{x}^{-\frac{4}{3}}=\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^4}}\\ & f^{\prime \prime }\left(8\right)=\frac{2}{9\sqrt[3]{8^5}}-\frac{2}{9\sqrt[3]{8^4}}=\frac{2}{9}(\frac{1}{32}-\frac{1}{16})=-\frac{1}{144}\end{array}$

(17) $f\left(x\right)=\frac{1}{1+\sqrt{x}} , x=4$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\frac{1}{1+\sqrt{x}}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{-\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}{(1+\sqrt{x}{)}^2}=\frac{-1}{2\sqrt{x}(1+\sqrt{x}{)}^2}\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)& =\frac{2\sqrt{x}\left(2\right)(1+\sqrt{x}{)}^1\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)+(1+\sqrt{x}{)}^2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}{4x(1+\sqrt{x}{)}^4}\\ & =\frac{2+\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{4x(1+\sqrt{x}{)}^3}\\ f^{\prime \prime }\left(4\right)& =\frac{2+\frac{1+2}{2}}{16(1+2{)}^3}=\frac{7}{864}\end{array}$

أجد معادلة المماس لكل اقتران ممّا يأتي عند النقطة المعطاة:

(18) $f\left(x\right)=\frac{1+x}{1+e^x} , (0,\frac{1}{2})$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\frac{1+x}{1+e^x}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(1+e^x)\left(1\right)-(1+x)\left(e^x\right)}{{(1+e^x)}^2}=\frac{1-x{e}^x}{{(1+e^x)}^2}\end{array}$

ميل المماس عند النقطة (0, $\frac{1}{2}$) هو: $\frac{1}{4}$ f ’(0) =

معادلة المماس هي:

          $y-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}(x-0)\to y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$

(19) $f\left(x\right)=e^{x }\cos x+\sin x,(0,1)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=e^x cos x+sin x\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(e^x\right)(-sin x)+(cos x)\left(e^x\right)+cos x\end{array}$

ميل المماس عند النقطة (0, 1) هو:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=\left(1\right)\left(0\right)+\left(1\right)\left(1\right)+1=2$

معادلة المماس هي:

$y-1=2(x-0)\to y=2x+1$

أثبت صحّة كلّ ممّا يأتي معتمداً أنّ $\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x\cdot \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ :

(20) $\frac{d}{dx}(\cot x)=-{\csc }^2 x$

$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(cot x)& =\frac{d}{dx}\left(\frac{cos x}{sin x}\right)\\ & =\frac{(sin x)(-sin x)-(cos x)(cos x)}{si{n}^2 x}\\ & =\frac{-si{n}^2 x-co{s}^2 x}{si{n}^2 x}\\ & =-\frac{1}{si{n}^2 x}\\ & =-cs{c}^2 x\end{array}$

(21) $\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x \tan x$

$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(sec x)& =\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{cos x}\right)\\ & =\frac{-(-sin x)}{co{s}^2 x}\\ & =\frac{1}{cos x}\times \frac{sin x}{cos x}\\ & =sec x tan x\end{array}$

(22) $\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x$

$\begin{array}{rl}\frac{d}{dx}(csc x)& =\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{sin x}\right)\\ & =\frac{-(cos x)}{si{n}^2 x}\\ & =-\frac{1}{sin x}\times \frac{cos x}{sin x}\\ & =-csc x cot x\end{array}$

ألاحظ المشتقة المعطاة في كلّ ممّا يأتي، ثم أجد المشتقة العليا المطلوبة:

(23) $f^{\prime \prime }\left(x\right)=2-\frac{2}{x},f^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}& f^{\prime \prime }\left(x\right)=2-\frac{2}{x}\\ & f^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{2}{x^2}\end{array}$

(24) $f^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\left(x\right)=2\sqrt{x},f^{\left(4\right)}\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}& f^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\left(x\right)=2\sqrt{x}\\ & f^{\left(4\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\end{array}$

(25) $f^{\left(4\right)}\left(x\right)=2x+1,f^{\left(6\right)}\left(x\right)$

$\begin{array}{rl}& f^{\left(4\right)}\left(x\right)=2x+1\\ & f^{\left(5\right)}\left(x\right)=2\\ & f^{\left(6\right)}\left(x\right)=0\end{array}$

(26) نباتات هجينة: وجد فريق بحث زراعي أنّه يمكن التعبير عن ارتفاع نبتة هجينة من نبات تبّاع الشمس h بالأمتار، باستعمال الاقتران: h(t) = $\frac{3t^2}{4+t^2}$ ، حيث t الزمن بالأشهر بعد زراعة البذور. أجد معدّل تغير ارتفاع النبتة بالنسبة إلى الزمن.

$\begin{array}{rl}& h\left(t\right)=\frac{3t^2}{4+t^2}\\ & h^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{(4+t^2)\left(6t\right)-\left(3t^2\right)\left(2t\right)}{{(4+t^2)}^2}=\frac{24t}{{(4+t^2)}^2}\end{array}$

إذا كان الاقتران: y = e^x sin x ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(27) أجد $\frac{dy}{dx}$ ، و $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ .

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=\left(e^x\right)(cos x)+(sin x)\left(e^x\right)=e^x(cos x+sin x)\\ & \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=e^x(-sin x+cos x)+e^x(cos x+sin x)=2e^{x}cos x\end{array}$

(28) أثبت أنّ $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=2\frac{dy}{dx}-2y$

$\begin{array}{rl}2\frac{dy}{dx}-2y& =2e^x(cos x+sin x)-2e^x sin x\\ & =2e^{x}cos x\\ & =\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\end{array}$

أقمار صناعية: عندما ترصد الأقمار الصناعية الأرض، فإنه يُمكنها مسح جزء فقط من سطح الأرض. وبعض الأقمار الصناعية تحوي مُستشعرات لقياس الزاوية Ɵ (بالراديان) المبينة في الشكل المجاور. إذا كان h يمثل المسافة بين القمر الصناعي وسطح الأرض بالكيلومترات، و r يُمثل نصف قطر الأرض بالكيلومترات، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(29) أثبت أنّ h = r(csc Ɵ - 1) .

$\begin{array}{rl}csc\theta =\frac{r+h}{r}& \to r+h=rcsc\theta \\ & \to h=r(csc\theta -1)\end{array}$

(30) أجد معدل تغير h بالنسبة إلى Ɵ عندما $\theta =\frac{\pi }{6}\mathrm{rad}$ (أفترض أن r = 6371 km).

$\begin{array}{rl}\frac{dh}{d\theta }& =r(-csc\theta cot\theta )\\ {\frac{dh}{d\theta }|}_{\theta =\frac{\pi }{6}}& =6371(-csc\frac{\pi }{6} cot\frac{\pi }{6})\\ & =6371(-2\times \sqrt{3})\approx -22070\mathrm{km}/\mathrm{rad}\end{array}$

(31) إذا كان: $f\left(x\right)=9\ln x+\frac{1}{2x^2}$ ، فأثبت أنّ $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(3x-1)(3x+1)}{x^3}$ .

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =9lnx+\frac{1}{2x^2}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =9\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{-1\left(4x\right)}{4x^4}\\ & =\frac{9}{x}-\frac{1}{x^3}\\ & =\frac{9x^2-1}{x^3}\\ & =\frac{(3x-1)(3x+1)}{x^3}\end{array}$

يبين الشكل المجاور منحنيي الاقتراني: F(x) ، و G(x) .

إذا كان: P(x) = F(x)G(x) ، وكان: $\frac{\mathit{F}\mathit{\left(}\mathit{x}\mathit{\right)}}{\mathit{G}\mathit{\left(}\mathit{x}\mathit{\right)}}$Q(x) =  ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(32) P’(2)

$P^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=F\left(2\right)G^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)+G\left(2\right)F^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)$

(2) G’ ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (2, 2) و (4, 3) ويساوي 

(2) F’ ميل المماس الأفقي، ويساوي صفراً.

$P^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=3\times \frac{1}{2}+2\times 0=\frac{3}{2}$

(33) Q’(7)

$Q^{\mathrm{\prime }}\left(7\right)=\frac{G\left(7\right)F^{\mathrm{\prime }}\left(7\right)-F\left(7\right)G^{\mathrm{\prime }}\left(7\right)}{G^2\left(7\right)}=\frac{1\times \frac{1}{4}-5\times -\frac{2}{3}}{1}=\frac{43}{12}$