تطبيقات القيم القصوى

مسألة اليوم

مسألة اليوم

تطبيقات القيم القصوى

أرادت إسراء تصميم حوض أسماك زجاجي مفتوح من الأعلى، بحيث تكون سعته 0.2 m³ وأبعاده كما في الشكل المجاور. أجد أبعاد الحوض التي تجعل كميّة الزجاج المستعملة لصنعه أقل ما يمكن.

مساحة سطح الحوض المفتوح من الأعلى:

S = 4xy + x²

حجم الحوض: V = x²y

$\begin{aligned} 0 .2 = x^{2} y \to y = \frac{0 .2}{x^{2}} \\ S = 4 x y + x^{2} \\ S (x) = 4 x (\frac{0 .2}{x^{2}}) + x^{2} = \frac{0 .8}{x} + x^{2} \\ S^{'} (x) = \frac{- 0 .8}{x^{2}} + 2 x \\ \frac{- 0 .8}{x^{2}} + 2 x = 0 \to 2 x = \frac{0 .8}{x^{2}} \to 2 x^{3} = 0 .8 \to x^{3} = 0 .4 \to x = \sqrt[3]{0 .4} \end{aligned}$

توجد قيمة حرجة واحدة هي: $x = \sqrt[3]{0 .4}$

$\begin{aligned} S^{''} (x) = \frac{1 .6}{x^{3}} + 2 \\ S^{''} (\sqrt[3]{0 .4}) = \frac{1 .2}{(\sqrt[3]{0 .4})^{3}} + 2 = 5 > 0 \end{aligned}$

إذن توجد قيمة صغرى محلية عندما: $x = \sqrt[3]{0 .4}$

وتكون أبعاد الحوض التي تجعل كمية الزجاج المستعملة لصنعه أقل ما يمكن هي:

$x = \sqrt[3]{0 .4} m, y = \frac{0 .2}{(\sqrt[3]{0 .4})^{2}} m$

إعداد : شبكة منهاجي التعليمية

27 / 01 / 2023

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

حمّل تطبيق منهاجي الجديد

النقاشات

جميع الحقوق محفوظة © 2025