إجابات كتاب التمارين

المعدلات المرتبطة

ملىء بالون بالهيليوم بمعدل 8 cm³/s . أجد معدل تغير نصف قطر البالون في كل من الحالات الآتية:

(1) عندما يكون طول نصف قطره 12 cm .

المعطى: $\frac{dV}{dt}=8$

المطلوب: ${\frac{dr}{dt}|}_{r=12}$

$\begin{array}{rl}& V=\frac{4}{3}\pi r^3\to \frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}\\ & {\to \frac{dV}{dt}|}_{r=12}={576\pi \frac{dr}{dt}|}_{r=12}={8\to \frac{dr}{dt}|}_{r=12}=\frac{8}{576\pi }=\frac{1}{72\pi }\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array}$

(2) عندما يكون حجمه 1435 cm³ (أقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من مئة).

المطلوب: ${\frac{d\gamma }{dt}|}_{V=1435}$

$\begin{array}{rl}& r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}={\left(\frac{3V}{4\pi }\right)}^{\frac{1}{3}}\\ & {\frac{dr}{dt}|}_{r=12}=\frac{1}{3}{\left(\frac{3V}{4\pi }\right)}^{\frac{-2}{3}}\times {\frac{3}{4\pi }\frac{dV}{dt}|}_{r=12}\\ & =\frac{1}{3}{\left(\frac{3\left(1435\right)}{4\pi }\right)}^{\frac{-2}{3}}\times \frac{3}{4\pi }\times 8\\ & =\frac{2}{\pi }{\left(\frac{4305}{4\pi }\right)}^{\frac{-2}{3}}=\frac{2}{\pi }{\left(\frac{4\pi }{4305}\right)}^{\frac{2}{3}}\\ & =\frac{2}{\pi }\times \sqrt[3]{{\left(\frac{4\pi }{4305}\right)}^2}\approx 0.01\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array}$

حل آخر:

عندما يكون الحجم 1435 cm³ يكون طول نصف القطر $\sqrt[3]{\frac{3\left(1435\right)}{4\pi }}\approx 7\mathrm{cm}$

نستعمل العلاقة بين المعدلين من السؤال 1 السابق.

$\begin{array}{rl}\frac{dV}{dt}& =4\pi r^2\frac{dr}{dt}\\ {\frac{dV}{dt}|}_{r=7}& ={196\pi \frac{dr}{dt}|}_{r=7}={8\to \frac{dr}{dt}|}_{r=7}=\frac{8}{196\pi }\approx 0.01\mathrm{cm}/\mathrm{s}\end{array}$

(3) إذا ملىء مدّة 33.5 s .

$t=33.5\to V=8\times 33.5=268{\mathrm{cm}}^3$

عندما يكون الحجم 268 cm³ يكون طول نصف القطر $\sqrt[3]{\frac{3\left(268\right)}{4\pi }}\approx 4\mathrm{cm}$

${\to \frac{dV}{dt}|}_{r=4}={64\pi \frac{dr}{dt}|}_{r=4}={8\to \frac{dr}{dt}|}_{r=4}=\frac{8}{64\pi }=\frac{1}{8\pi }\approx 0.04\mathrm{cm}/\mathrm{s}$

(4) تمثل المعادلة: V = IR جهد الدارة الكهربائية (بالفولت) المبينة في الشكل المجاور، حيث I شدة التيار بالأمبير، و R المقاومة بالأوم. إذا كان جهد الدارة يزداد بمعدل 1 volt/sec ، وشدة التيار تقل بمعدل $\frac{1}{3}$amp/sec ، فأوجد معدل تغير R عندما V = 12 ، و I = 2 .

$\begin{array}{rl}& V=IR\\ & \frac{dV}{dt}=I\frac{dR}{dt}+R\frac{dI}{dt}\end{array}$

المعطى: $\frac{dV}{dt}=1,\frac{dI}{dt}=-\frac{1}{3}$

المطلوب: $\frac{dR}{dt}$ عندما I = 2 , V = 12

عندما I = 2 , V = 12 ، فإن R = 6 بالتعويض في المعادلة أعلاه ينتج أّنّ:

$1=2\frac{dR}{dt}+6(-\frac{1}{3})\to \frac{dR}{dt}=1.5\mathrm{\Omega }/s$