مسألة اليوم

التكامل بالتعويض

يمثل الاقتران G(t) الكتلة الحيوية لمجتمع أسماك في بحيرة بعد t سنة من بدء دراستها، حيث G مقيسة بالكيلوغرام. إذا كان معدل تغير الكتلة الحيوية للأسماك هو $G^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{60000e^{-0.6t}}{{(1+5e^{-0.6t})}^2}$ مقيساً بوحدة (kg/year)، وكانت الكتلة الحيوية للأسماك عند بدء الدراسة هي 25000 kg ، فأجد الكتلة الحيوية المتوقعة للأسماك بعد 20 سنة من بدء الدراسة.

أفرض أن:

$\begin{array}{rl}& u=1+5e^{-0.6t}\\ & \frac{du}{dt}=-3e^{-0.6t}\Rightarrow dt=\frac{du}{-3e^{-0.6t}}\\ & G\left(t\right)=\int \frac{60000e^{-0.6t}}{u^2}\times \frac{du}{-3e^{-0.6t}}\\ & =\int -20000u^{-2} du\\ & =20000u^{-1}+C\\ & G\left(t\right)=\frac{20000}{1+5e^{-0.6t}}+C\\ & G\left(0\right)=\frac{20000}{1+5}+C\\ & 25000=\frac{10000}{3}+C\Rightarrow C=\frac{65000}{3}\\ & G\left(t\right)=\frac{20000}{1+5e^{-0.6t}}+\frac{65000}{3}\\ & G\left(20\right)=\frac{20000}{1+5e^{-12}}+\frac{65000}{3}\approx 41666 \mathrm{kg}\end{array}$