أتدرب وأحل المسائل

الشرط الأولي

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران f(x) ، ونقطة يمر بها منحنى y = f(x) . أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران f(x) :

(1) f(x) = x⁷

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (x-3) dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2-3x+C\\ & 9=\frac{1}{2}\times (2{)}^2-3(2)+C\\ & C=13\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-3x+13\end{array}$

(2) $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x^2-4; (0,7)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (x^2-4) dx\\ & =\frac{1}{3}{x}^3-4x+C\\ & 7=\frac{1}{3}\times (0{)}^3-4(0)+C\\ & C=7\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-4x+7\end{array}$

(3) $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6x^2-4x+2; (1,9)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (6x^2-4x+2) dx\\ & =2x^3-2x^2+2x+C\\ & 9=2(1{)}^3-2(1{)}^2+2\left(1\right)+C\\ & C=7\\ & f\left(x\right)=2x^3-2x^2+2x+7\end{array}$

(4) $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\sqrt{x}+\frac{1}{4}{x}^2; (4,11)$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (\sqrt{x}+\frac{1}{4}{x}^2) dx\\ & =\int (x^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}{x}^2) dx\\ & =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}{x}^3+C\\ 11=& \frac{2}{3}(4{)}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}(4{)}^3+C\\ C=& 11\\ f\left(x\right)& =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{12}{x}^3+11\\ & =\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-\frac{1}{12}{x}^3+11\end{array}$

(5) $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(x+2{)}^2; (1,7)$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int (x+2{)}^{2 }dx\\ & =\int (x^2+4x+4) dx\\ & =\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+4x+C\\ & 7=\frac{1}{3}(1{)}^3+2(1{)}^2+4\left(1\right)+C\\ & C=\frac{2}{3}\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+4x+\frac{2}{3}\end{array}$

(6) $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{\sqrt{x}}-x; (4,0)$

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (\frac{3}{\sqrt{x}}-x) dx\\ & =\int (3x^{-\frac{1}{2}}-x) dx\\ & =6x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}{x}^2+C\\ & =6\sqrt{x}-\frac{1}{2}{x}^2\\ 0=& 6\sqrt{4}-\frac{1}{2}(4{)}^2+C\\ C=& -4\\ f\left(x\right)& =6\sqrt{x}-\frac{1}{2}{x}^2-4\end{array}$

(7) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: $\frac{dy}{dx}=0.4x+3$ ، فأجد قاعدة العلاقة y ، علماً بأنّ منحناها يمر بالنقطة (0, 5).

$\begin{array}{rl}& y=\int (0.4x+3) dx\\ & =0.2x^2+3x+C\\ & 5=0.2(0{)}^2+3(0)+C\\ & C=5\\ & y=0.2x^2+3x+5\end{array}$

(8) إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{x^2+10}{x^2}$ ، فأجد قاعدة الاقتران f(x)، علماً بأنّ منحناها يمر بالنقطة (5, 2).

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int \frac{x^2+10}{x^2}dx\\ & =\int (\frac{x^2}{x^2}+\frac{10}{x^2})dx\\ & =\int (1+10x^{-2})dx\\ & =x-10x^{-1}+C\\ & =x-\frac{10}{x}+C\\ 2=& 5-\frac{10}{5}+C\\ C=& -1\\ f\left(x\right)& =x-\frac{10}{x}-1\end{array}$

(9) يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران f(x)، حيث: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2 - 3$ .

أجد قاعدة الاقتران f(x).

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (3x^2-3)dx\\ & =x^3-3x+C\end{array}$

منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0, 2)، إذن:

$\begin{array}{rl}& 2=(0{)}^3-3(0)+C\\ & C=2\\ & f\left(x\right)=x^3-3x+2\end{array}$

بالون: عند نفخ بالون كروي الشكل يصبح نصف قطره y سنتمتراً بعد t ثانية.

إذا كان: $\frac{dy}{dt}=4t^{-\frac{2}{3}}, t>0$، وكان نصف قطر البالون بعد 8 ثوانٍ من بدء نفخه 30 cm ، فأجد كلاً مما يأتي:

(10) قاعدة العلاقة y بدلالة t .

$\begin{array}{rl}& y=\int 4t^{-\frac{2}{3}}dt\\ & =12t^{\frac{1}{3}}+C\\ & =12\sqrt[3]{t}+C\\ & 30=12\sqrt[3]{8}+C\\ & C=6\\ & y=12\sqrt[3]{t}+6\end{array}$

(11) نصف قطر البالون بعد 27 ثانية من بدء نفخه.

$\begin{array}{rl}y& =12\sqrt[3]{27}+6\\ & =42\end{array}$

إذن نصف قطر البالون بعد  27ثانية من بدء نفخه هو: 42 cm

(12) أشجار: في دراسة تناولت نوعاً معيناً من الأشجار تبين أن ارتفاع هذه الأشجار يتغير بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران:  $h^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=0.2t^{\frac{2}{3}}+\sqrt{t}$ ، حيث h(t) ارتفاع الشجرة بالأقدام، و t عدد السنوات منذ لحظة زراعة الشجرة. إذا كان ارتفاع إحدى هذه الأشجار عند زراعتها هو  2 ft فأجد h(t) .

$\begin{array}{rl}h\left(t\right)& =\int (0.2t^{\frac{2}{3}}+\sqrt{t})dt\\ & =\int (0.2t^{\frac{2}{3}}+t^{\frac{1}{2}})dt\\ & =0.12t^{\frac{5}{3}}+\frac{2}{3}{t}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =0.12\sqrt[3]{t^5}+\frac{2}{3}\sqrt{t^3}+C\end{array}$

بما أن ارتفاع الشجرة عند زراعتها 2 ft ، فإن h(0) = 2 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C .

$\begin{array}{rl}& 2=0.12\sqrt[3]{(0{)}^5}+\frac{2}{3}\sqrt{(0{)}^3}+C\\ & C=2\\ & h\left(t\right)=0.12\sqrt[3]{t^5}+\frac{2}{3}\sqrt{t^3}+2\end{array}$

(13) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران:  v(t) = 2t + 3 ، حيث t الزمن بالثواني، و v سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا بدأ الجُسيم حركته من نقطة الأصل فأجد موقعه بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}s\left(t\right)& =\int v\left(t\right)dt\\ & =\int (2t+3)dt\\ & =t^2+3t+C\end{array}$

بما أن الجُسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، فإن s(0) = 0 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C .

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=t^2+3t+C\\ & 0=(0{)}^2+3(0)+C\\ & C=0\\ & s\left(t\right)=t^2+3t\\ & s\left(3\right)=(3{)}^2+3(3)\\ & =18\end{array}$

إذن موقع الجُسيم بعد 3 ثوان من بدء الحركة هو: 18 m

(14) يتحرك جُسيم في مسار مستقيم، ويعطى تسارعه بالاقتران:  a(t) = t² ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم هو 3 m، وكانت سرعته المتجهة هي 1 m/s بعد ثانية واحدة من بدء حركته، فأجد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& =\int a\left(t\right)dt\\ & =\int t^{2}dt\\ & =\frac{1}{2}{t}^3+C_1\end{array}$

بما أن السرعة المتجهة بعد ثانية واحدة من بدء الحركة هي 1 m/s ، فإن v(1) = 1 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₁ .

$\begin{array}{rl}1& =\frac{1}{2}(1{)}^3+C_1\\ C_1& =\frac{1}{2}\\ v\left(t\right)& =\frac{1}{2}{t}^3+\frac{1}{2}\\ s\left(t\right)& =\int v\left(t\right)dt\\ & =\int (\frac{1}{2}{t}^3+\frac{1}{2})dt\\ & =\frac{1}{8}{t}^4+\frac{1}{2}t+C_2\end{array}$

بما أن الموقع الابتدائي للجُسيم هو 3 m ، فإن s(0) = 3 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₂ .

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\frac{1}{8}{t}^4+\frac{1}{2}t+C_2\\ & 3=\frac{1}{8}(0{)}^4+\frac{1}{2}(0)+C_2\\ & C_2=3\\ & s\left(t\right)=\frac{1}{8}{t}^4+\frac{1}{2}t+3\\ & s\left(2\right)=\frac{1}{8}(2{)}^4+\frac{1}{2}(2)+3\\ & =5\end{array}$

إذن موقع الجُسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: 5 m

(15) يتحرك جُسيم من السكون، ويعطى تسارعه بالاقتران:  a(t) = 9 – 2t ، حيث t الزمن بالثواني، و a تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. إذا بدأ الجسيم حركته من نقطة الأصل بسرعة متجهة هي 2 m/s ، فأجد موقعه بعد ثانيتين من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& =\int a\left(t\right)dt\\ & =\int (9-2t)dt\\ & =9t-t^2+C_1\end{array}$

بما أن السرعة المتجهة الابتدائية هي 2 m/s ، فإن v(0) = 2 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₁ .

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=9t-t^2+C_1\\ & 2=9\left(0\right)-(0{)}^2+C_1\\ & C_1=2\\ & v\left(t\right)=9t-t^2+2\\ & s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt\\ & =\int (9t-t^2+2)dt\\ & =\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{3}{t}^3+2t+C_2\end{array}$

بما أن الحركة من نقطة الأصل، فإن s(0) = 0 ، وهذا يُعدّ شرطاً أولياً لإيجاد قيمة ثابت التكامل C₂ .

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{3}{t}^3+2t+C_2\\ & 0=\frac{1}{2}(0{)}^2-\frac{1}{3}(0{)}^3+2\left(0\right)+C_2\\ & C_2=0\\ & s\left(t\right)=\frac{1}{2}{t}^2-\frac{1}{3}{t}^3+2t\\ & s\left(2\right)=\frac{1}{2}(2{)}^2-\frac{1}{3}(2{)}^3+2\left(2\right)\\ & =\frac{58}{3}\end{array}$

إذن موقع الجُسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة هو: $\frac{58}{3}$ m