مهارات التفكير العليا

توزيع ذي الحدين

(19) تبرير: إذا كان: $X~B(3,p)$، وكان: $P(X\ge 1)=\frac{215}{216}$، فأجد $P(X=2)$، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}& P(X\ge 1)=1-P(X<1)\\ & =1-P(X=0)\\ & =1-\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(p{)}^0\right(1-p{)}^3\\ & \Rightarrow \frac{215}{216}=1-\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)\left(p{)}^0\right(1-p{)}^3\\ & \Rightarrow \frac{215}{216}=1-(1-p{)}^3\\ & \Rightarrow (1-p{)}^3=1-\frac{215}{216}\\ & \Rightarrow (1-p{)}^3=\frac{1}{216}\\ & \Rightarrow 1-p=\frac{1}{6}\\ & \Rightarrow p=1-\frac{1}{6}\\ & \Rightarrow p=\frac{5}{6}\\ & P(X=2)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right){\left(\frac{5}{6}\right)}^2{\left(\frac{1}{6}\right)}^1\\ & =\frac{75}{216}\\ & \end{array}$

(20) تبرير: إذا كان: $X~B(100,p)$، وكان التباين للمتغير العشوائي X هو 24، فأجد قيمة $p$، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}& Var\left(X\right)=100p(1-p)\\ & \Rightarrow 24=100p(1-p)\\ & \Rightarrow 24=100p-100p^2\\ & \Rightarrow 100p^2-100p+24=0\\ & \Rightarrow 25p^2-25p+6=0\\ & \Rightarrow (5p-3)(5p-2)=0\\ & \Rightarrow p=\frac{3}{5},p=\frac{2}{5}\end{array}$

(21) تحد: يتألف اختبار لمبحث الجغرافيا من 25 سؤالاً، جميعها من نوع الاختيار من متعدد، ولكل منها 4 بدائل، واحد منها فقط صحيح، ولكل فقرة 4 علامات. إذا أجاب رامي عن هذه الأسئلة جميعها بصورة عشوائية، فما احتمال أن يحصل على علامة 76 من 100؟

بما أن لكل فقرة 4 علامات، وحصل رامي على العلامة 76، معناه أن رامي قد أجاب بشكل صحيح على 19 فقرة من أصل 25 فقرة في هذا الاختبار.

بما أن كل فقرة لها 4 بدائل واحدة منها فقط صحيحة، إذن احتمال اختيار البديل الصحيح هو $\frac{1}{4}$

$\begin{array}{rl}P(X=19)& =\left(\begin{array}{c}25\\ 19\end{array}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^{19}{\left(\frac{3}{4}\right)}^6\\ & =0.00000011467\end{array}$