أتحقق من فهمي

التوزيع الطبيعي المعياري

التوزيع الطبيعي المعياري

أتحقق من فهمي صفحة (100):

أجد كلاً مما يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$P(Z<0.69)$ (a

$P(Z<0.69)=0.7549$

$P(Z<3.05)$ (b

$P(Z<3.05)=0.9989$

$P(Z>-1.67)$ (c

$\begin{array}{rl}P(Z>-1.67)& =P(Z<1.67)\\ & =0.9525\end{array}$

$P(Z>-2.88)$ (d

$\begin{array}{rl}P(Z>-2.88)& =P(Z<2.88)\\ & =0.9980\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (101):

أجد كلاً مما يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$P(Z>2.56)$ (a

$\begin{array}{rl}P(Z>2.56)& =1-P(Z<2.56)\\ & =1-0.9948\\ & =0.0052\end{array}$

$P(Z>1.01)$ (b

$\begin{array}{rl}P(Z>1.01)& =1-P(Z<1.01)\\ & =1-0.8438\\ & =0.1562\end{array}$

$P(Z<-0.09)$ (c

$\begin{array}{rl}P(Z<-0.09)& =1-P(Z<0.09)\\ & =1-0.5359\\ & =0.4641\end{array}$

$P(Z<-1.52)$ (d

$\begin{array}{rl}P(Z<-1.52)& =1-P(Z<1.52)\\ & =1-0.9357\\ & =0.0643\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (102):

أجد كلاً مما يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$P(0<Z<0.33)$ (a

$\begin{array}{rl}P(0<Z<0.33)& =P(Z<0.33)-P(Z<0)\\ & =0.6293-0.5\\ & =0.1293\end{array}$

$P(-1<Z<1.25)$ (b

$\begin{array}{rl}P(-1<Z<1.25)& =P(Z<1.25)-P(Z<-1)\\ & =P(Z<1.25)-(1-P(Z<1\left)\right)\\ & =0.8944-(1-0.8413)\\ & =0.8944-0.1587\\ & =0.7357\end{array}$

إيجاد قيمة المتغير العشوائي إذا عُلم الاحتمال

أتحقق من فهمي صفحة (106):

أجد قيمة $\mathit{a}$ التي تحقق الاحتمال المعطى في كل مما يأتي:

$P(Z<a)=0.9788$ (a

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z<a)=P(Z<z)\\ & \Rightarrow 0.9788=P(Z<z)\\ & \Rightarrow z=2.03\\ & \Rightarrow a=2.03\end{array}$

$P(Z<a)=0.25$ (b

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يسار القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أقل من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ سالبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $-z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z<a)=P(Z<-z)\\ & \Rightarrow 0.25=P(Z<-z)\\ & \Rightarrow 0.25=1-P(Z<z)\\ & P(Z<z)=1-0.25\\ & P(Z<z)=0.75\\ & \Rightarrow z=0.67\\ & \Rightarrow a=-0.67\end{array}$

$P(Z>a)=0.9738$ (c

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أكبر من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ سالبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $-z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z>a)=P(Z>-z)\\ & \Rightarrow 0.9738=P(Z>-z)\\ & \Rightarrow 0.9738=P(Z<z)\\ & \Rightarrow P(Z<z)=0.9738\\ & \Rightarrow z=1.94\\ & \Rightarrow a=-1.94\end{array}$

$P(Z>a)=0.2$ (d

الاحتمال المعطى يمثل المساحة التي تقع يمين القيمة المعيارية $a$ أسفل منحنى التوزيع الطبيعي.

بما أن قيمة الاحتمال أقل من 0.5، فهذا يعني أن قيمة $a$ موجبة، وأنه يمكن استبدال القيمة $z$ بها.

$\begin{array}{rl}& P(Z>a)=P(Z>z)\\ & \Rightarrow 0.2=P(Z>z)\\ & \Rightarrow 0.2=1-P(Z<z)\\ & \Rightarrow P(Z<z)=1-0.2\\ & \Rightarrow P(Z<z)=0.8\\ & \Rightarrow z=0.84\\ & \Rightarrow a=-0.84\end{array}$