إجابات كتاب التمارين

التوزيع الهندسي

إذا كان $\mathit{X}\mathbf{~}\mathit{G}\mathit{e}\mathit{o}\mathbf{}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{8}}\mathbf{\right)}$، فأجد كلاً مما يأتي، مقرباً إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية:

$P(X=4)$ (1)

$\begin{array}{rl}P(X=4)& =\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^3\\ & =\frac{343}{4096}\approx 0.084\end{array}$

$P(X\le 4)$ (2)

$\begin{array}{rl}P(X\le 4)=P(X& =1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)\\ & =\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^3+\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^2+\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^1+\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^0\approx 0.414\end{array}$

$P(X\ge 2)$ (3)

$\begin{array}{rl}P(X\ge 2)& =1-P(X<1)\\ & =1-P(X=1)\\ & =1-\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^0\\ & =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\end{array}$

$P(3\le X<5)$ (4)

$\begin{array}{rl}P(3\le X<5)& =P(X=3)+P(X=4)\\ & =\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^2+\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^3\approx 0.179\end{array}$

$P(X<2)$ (5)

$P(X<2)=P(X=1)=\frac{1}{8}=0.125$

$P(X>5)$ (6)

$P(X>5)=1-P(X\le 4)\approx 1-0.414=0.586$

$P(1<X<3)$ (7)

$\begin{array}{rl}P(1<X<3)& =P(X=2)\\ & =\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^1=\frac{7}{64}\approx 0.109\end{array}$

$P(4<X\le 6)$ (8)

$\begin{array}{rl}P(4<X\le 6)& =P(X=5)+P(X=6)\\ & =\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^4+\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^5\approx 0.137\end{array}$

$P(2<X\le 4)$ (9)

$\begin{array}{rl}P(2<X\le 4)& =P(X=3)+P(X=4)\\ & =\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^2+\frac{1}{8}{\left(\frac{7}{8}\right)}^3\approx 0.179\end{array}$

أجد التوقع لكل من المتغيرات العشوائية الآتية:

$X~\mathrm{GeO}\left(0.8\right)$ (10)

$E\left(X\right)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.8}=\frac{10}{8}=1.25$

$11X~\mathrm{Geo}\left(0.1\right)$ (11)

$E\left(X\right)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.1}=10$

$X~\mathrm{Geo}\left(0.75\right)$ (12)

$E\left(X\right)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.75}=\frac{100}{75}=\frac{4}{3}\approx 1.33$

أطلق عماد رصاصة نحو هدف بصورة متكررة، ثم توقف عنـد إصابته الهدف أول مرة. إذا كان احتمال إصابته الهدف في كل مرة هو 0.7، فأجد كلاً مما يأتي:

(13) احتمال أن يصيب الهدف أول مرة في المحاولة العاشرة.

$P(X=10)=(0.7)(0.3{)}^3\approx 0.00001$

(14) احتمال أن يطلق رصاصتين على الأقل حتى يصيب الهدف أول مرة.

$\begin{array}{rl}P(X\ge 2)& =1-P(X<1)\\ & =1-P(X=1)\\ & =1-0.7(0.3{)}^0=1-0.7=0.3\end{array}$

(15) العدد المتوقع من الرصاصات التي سيطلقها عماد حتى يصيب الهدف أول مرة.

$E\left(X\right)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.7}=\frac{10}{7}\approx 1.4$

دورت هديل مؤشر قرص بشكل متكرر، وكان القرص مقسّماً إلى 4 قطاعات متطابقة وملونة بالأحمر، والأخضر، والأزرق، والأصفر. إذا دلّ المتغير العشوائي $\mathit{X}$ على عدد مرات تدوير مؤشر القرص حتى توقفه عند اللون الأصفر أول مرة، فأجد كلاً مما يأتي:

(16) احتمال أن تكون المرة الثالثة هي أول مرة يتوقف فيها مؤشر القرص عند اللون الأصفر.

$P(X=3)=\left(\frac{1}{4}\right){\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{64}\approx 0.14$

(17) احتمال أن تدور هديل مؤشر القرص أكثر من 4 مرات حتى يتوقف المؤشر عند اللون الأصفر أول مرة.

$\begin{array}{r}P(X>4)=1-P(X\le 4)\\ =1-\left(P\right(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4\left)\right)\\ =1-\left(\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^0+\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^1+\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{1}{4}{\left(\frac{3}{4}\right)}^3\right)\approx 0.32\end{array}$

إذا كان $\mathit{X}$ متغيراً عشوائياً هندسياً، وكان التوقع $\mathit{E}\mathbf{\left(}\mathit{X}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{2}$، فأجد كلاً مما يأتي:

$P(X=1)$ (18)

$\begin{array}{r}E\left(X\right)=2\Rightarrow \frac{1}{p}=2\\ \Rightarrow p=\frac{1}{2}\\ P(X=1)=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=\frac{1}{2}\end{array}$

$P(X>3)$ (19)

$\begin{array}{r}P(X>3)=1-P(X\le 3)\\ =1-\left(P\right(X=1)+P(X=2)+P(X=3\left)\right)\\ =1-\left(\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^0+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^1+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)\\ =1-(0.5+0.25+0.125)\\ =1-0.875=0.125\end{array}$