أستعد لدراسة الوحدة

التكامل

التحويل من الصورة الأسية إلى الصورة الجذرية وبالعكس

أكتب الصورة الأسية في صورة جذرية، وأكتب الصورة الجذرية في صورة أسية، في كل ما يأتي:

$p^{\frac{1}{6}}$ (1)

$p^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{p}$

$w^{\frac{8}{3}}$ (2)

$w^{\frac{8}{3}}=\sqrt[3]{w^8}$

$\sqrt[6]{v^5}$ (3)

$\sqrt[6]{v^5}=v^{\frac{5}{6}}$

$\sqrt[8]{u}$ (4)

$\sqrt[8]{u}=u^{\frac{1}{8}}$

إيجاد قيمة اقتران عند نقطة ما

أجد قيمة كل من الاقترانات الآتية عند قيم $x$ المعطاة:

$f\left(x\right)=x^2-5x+9;x=1$ (5)

$f\left(1\right)=(1{)}^2-5(1)+9=5$

$h\left(x\right)=\sqrt{x}+10;x=49$ (6)

$h\left(49\right)=\sqrt{49}+10=17$

$g\left(x\right)=e^x+3x;x=0$ (7)

$g\left(0\right)=e^0+3\left(0\right)=1$

إيجاد مشتقة اقترانات مختلفة

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$f\left(x\right)=2x^3$ (8)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6x^2$

$f\left(x\right)=\sqrt{x}$ (9)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y=x+\sqrt[5]{2x-5}$ (10)

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =1+\frac{2}{5}(2x-5{)}^{-\frac{4}{5}}\\ & =1+\frac{2}{5\sqrt[5]{(2x-5{)}^4}}\end{array}$

$f\left(x\right)=(2x+3)(1-x^3)$ (11)

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(2x+3)(-3x^2)+(1-x^3)\left(2\right)\\ & =-6x^3-9x^2+2-2x^3\\ & =-8x^3-9x^2+2\end{array}$

$y=8x-\frac{x}{2x+8}$ (12)

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =8-\frac{(2x+8)\left(1\right)-\left(x\right)\left(2\right)}{(2x+8{)}^2}\\ & =8-\frac{2x+8-2x}{(2x+8{)}^2}\\ & =8-\frac{8}{(2x+8{)}^2}\end{array}$

$y=\frac{7}{x^3}+\frac{3}{x}-2$ (13)

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =-\frac{21x^2}{x^6}-\frac{3}{x^2}\\ & =-\frac{21}{x^4}-\frac{3}{x^2}\\ & =-\frac{21}{x^4}-\frac{3x^2}{x^4}\\ & =-\frac{21+3x^2}{x^4}\end{array}$

$f\left(x\right)=7x-e^{2x-1}$ (14)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=7-2e^{2x-1}$

$f\left(x\right)=x^4\ln x$ (15)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(x^4\right)\left(\frac{1}{x}\right)+(\ln x)\left(4x^3\right)=x^3+4x^3\ln x$

$f\left(x\right)=\sin 2x+4\cos 3x$ (16)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2\cos 2x-12\sin 3x$

إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة: $f\left(x\right)=|3x-9|$.

$\begin{array}{rl}& 3x-9=0\Rightarrow x=3\\ & f\left(x\right)=|3x-9|=\{\begin{array}{c}-3x+9,x<3\\ 3x-9,x\ge 3\end{array}\end{array}$