مهارات التفكير العليا

المساحة

(17) تحد: يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران: $y=kx(4-x)$. إذا كانت مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران والمحور x هي 32 وحدة مربعة، فأجد قيمة الثابت $k$.

$y=kx(4-x)$

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}y=0& \Rightarrow kx(4-x)=0\\ & \Rightarrow x=0\text{or}x=4\end{array}$

حسب الشكل، فإن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [0,4]

$\begin{array}{rl}& A={\int }_0^4\left(kx\right(4-x\left)\right)dx={\int }_0^4(4kx-k{x}^2)dx\\ & ={(2k{x}^2-\frac{k}{3}{x}^3)|}_0^4\\ & =\left(2k\right(4{)}^2-\frac{k}{3}\left(4{)}^3\right)-\left(2k\right(0{)}^2-\frac{k}{3}\left(0{)}^3\right)\\ & =\frac{32}{3}k\\ & \frac{32}{3}k=32\Rightarrow k=3\end{array}$ 

(18) تبرير: يبين الشكل التالي منحنى الاقتران $f\left(x\right)$. إذا كانت مساحة المنطقة $R_1$ هي وحدتين مربعتين، ومساحة لمنطقة $R_2$ هي 3 وحدات مربعة ، وكان : ${\int }_0^{4}f\left(x\right)dx=10$، فأجد ${\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)dx$، مبرراً إجابتي. 

$\begin{array}{rl}{R}_1=2& \Rightarrow -{\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx=2\\ & \Rightarrow {\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx=-2\\ R_2=3& \Rightarrow -{\int }_3^{4}f\left(x\right)dx=3\\ & \Rightarrow {\int }_3^{4}f\left(x\right)dx=-3\\ {\int }_0^{4}f\left(x\right)dx& ={\int }_0^{3}f\left(x\right)dx+{\int }_3^{4}f\left(x\right)dx\\ \Rightarrow 10& ={\int }_0^{3}f\left(x\right)dx+(-3)\\ \Rightarrow {\int }_0^3& f\left(x\right)dx=13\\ {\int }_{-1}^{3}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-1}^{0}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{3}f\left(x\right)dx\\ & =-2+13\\ & =11\end{array}$