مهارات التفكير العليا

التكامل بالتعويض

(29) أكتشف المختلف: التكاملات الآتية مختلف، مبرراً إجابتي؟

المختلف هو $\int x(x^3+1)dx$ لأنه الوحيد الذي لا يحل بطريقة التكامل بالتعويض.

(30) أكتشف الخطأ: أوجدت سعاد ناتج التكامل: ${\int }_0^{1}8x{(x^2+1)}^{3}dx$، وكان حلها على النحو الآتي:

أكتشف الخطأ في حل سعاد، ثم أصححه.

الخطأ الذي ارتكبته سعاد هو أنها لم تغير حدود التكامل.

 $\begin{array}{rl}& {\int }_0^{1}8x{(x^2+1)}^{3}dx\\ & u=x^2+1\Rightarrow \frac{du}{dt}=2x\\ & \Rightarrow dt=\frac{du}{2x}\\ & x=1\Rightarrow u=1^2+1=2\\ & x=0\Rightarrow u=0^2+1=1\\ & {\int }_0^{1}8x{(x^2+1)}^{3}dx={\int }_1^{2}8x{u}^3\frac{du}{2x}\\ & ={\int }_1^{2}4u^{3}du\\ & ={{\mathit{u}}^4|}_1^2\\ & =(2{)}^4-(1{)}^4\\ & =15\end{array}$

(31) تحد: إذ كان: ${\int }_0^{k}k{x}^2{e}^{x^3}dx=\frac{2}{3}(e^8-1)$، فأوجد قيمة الثابت $k$.

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{k}k{x}^2{e}^{x^3}dx\\ & u=x^3\Rightarrow \frac{du}{dt}=3x^2\\ & \Rightarrow dt=\frac{du}{3x^2}\\ & x=k\Rightarrow u=k^3\\ & x=0\Rightarrow u=0^3=0\\ & {\int }_0^{k}k{x}^2{e}^{x^3}dx={\int }_0^{k^3}k{x}^2{e}^u\frac{du}{3x^2}\\ & {\int }_0^{k}k{x}^2{e}^{x^3}dx=\frac{2}{3}(e^8-1)\Rightarrow \frac{k}{3}{e}^{k^3}-\frac{k}{3}=\frac{2}{3}(e^8-1)\\ & ={\int }_0^{k^3}\frac{k}{3}{e}^{u}du\\ & ={\frac{k}{3}{e}^u|}_0^{k^3}-\frac{k}{3}{e}^0\\ & =\frac{k}{3}{e}^{k^3}-\frac{k}{3}\end{array}$