أتحقق من فهمي

التكامل بالكسور الجزئية

عوامل المقام كثيرات حدود خطية مختلفة

أتحقق من فهمي صفحة (49):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{x-7}{x^2-x-6}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}& \frac{x-7}{x^2-x-6}=\frac{x-7}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}\\ & \Rightarrow x-7=A(x+2)+B(x-3)\\ & x=3\Rightarrow A=-\frac{4}{5}\\ & x=-2\Rightarrow B=\frac{9}{5}\\ & \int \frac{x-7}{x^2-x-6}dx=\int (\frac{-\frac{4}{5}}{x-3}+\frac{\frac{9}{5}}{x+2})dx\\ & =-\frac{4}{5}\ln |x-3|+\frac{9}{5}\ln |x+2|+C\end{array}$

$\int \frac{3x-1}{x^2-1}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& \frac{3x-1}{x^2-1}=\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\\ & \Rightarrow 3x-1=A(x+1)+B(x-1)\\ & x=1\Rightarrow A=1\\ & x=-1\Rightarrow B=2\\ & \int \frac{3x-1}{x^2-1}dx=\int (\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1})dx\\ & =\ln |x-1|+2\ln |x+1|+C\end{array}$

عوامل المقام كثيرات حدود خطية، أحدها مكرر

أتحقق من فهمي صفحة (51):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{x+4}{(2x-1)(x-1{)}^2}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}& \frac{x+4}{(2x-1)(x-1{)}^2}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1{)}^2}\\ & \Rightarrow x+4=A(x-1{)}^2+B(2x-1\left)\right(x-1)+C(2x-1)\\ & x=\frac{1}{2}\Rightarrow A=18\\ & x=1\Rightarrow C=5\\ & x=0\Rightarrow 4=A+B-C\Rightarrow B=-9\\ & \int \frac{x+4}{(2x-1)(x-1{)}^2}dx=\int (\frac{18}{2x-1}+\frac{-9}{x-1}+\frac{5}{(x-1{)}^2})dx\\ & =\frac{18}{2}\ln |2x-1|-9\ln |x-1|-\frac{5}{x-1}+C\\ & =9\ln |2x-1|-9\ln |x-1|-\frac{5}{x-1}+C\end{array}$

$\int \frac{x^2-2x-4}{x^3-4x^2+4x}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2-2x-4}{x^3-4x^2+4x}=\frac{x^2-2x-4}{x(x-2{)}^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2{)}^2}+\frac{C}{x}\\ & \Rightarrow x^2-2x-4=Ax(x-2)+Bx+C(x-2{)}^2\\ & x=2\Rightarrow B=-2\\ & x=0\Rightarrow C=-1\\ & x=1\Rightarrow -5=-A+B+C\Rightarrow A=2\\ & \int \frac{x^2-2x-4}{x^3-4x^2+4x}dx=\int (\frac{2}{x-2}+\frac{-2}{(x-2{)}^2}+\frac{-1}{x})dx\\ & =2\ln |x-2|+\frac{2}{x+2}-\ln \left|x\right|+C\end{array}$

عوامل المقام كثيرات حدود، أحدها تربيعي غير قابل للتحليل، وغير مكرر

أتحقق من فهمي صفحة (52):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{3x+4}{(x-3)(x^2+4)}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}& \frac{3x+4}{(x-3)(x^2+4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{Bx+C}{x^2+4}\\ & \Rightarrow 3x+4=A(x^2+4)+(Bx+C)(x-3)\\ & x=3\Rightarrow A=1\\ & x=0\Rightarrow 4=4A-3C\Rightarrow C=0\\ & \begin{array}{r}x=1\Rightarrow 7=5A-2B-2C\Rightarrow B=-1\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\int \frac{3x+4}{(x-3)(x^2+4)}dx& =\int (\frac{1}{x-3}-\frac{x}{x^2+4})dx\\ & =\int (\frac{1}{x-3}-\frac{1}{2}\times \frac{2x}{x^2+4})dx\\ & =\ln |x-3|-\frac{1}{2}\ln |x^2+4|+C\end{array}\end{array}$

 $\int \frac{7x^2-x+1}{x^3+1}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& \frac{7x^2-x+1}{x^3+1}=\frac{7x^2-x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}\\ & \Rightarrow 7x^2-x+1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)\\ & x=-1\Rightarrow A=3\\ & x=0\Rightarrow 1=A+C\Rightarrow C=-2\\ & x=1\Rightarrow 7=A+2B+2C\Rightarrow B=4\\ & \begin{array}{rl}\int \frac{7x^2-x+1}{x^3+1}dx& =\int (\frac{3}{x+1}+\frac{4x-2}{x^2-x+1})dx\\ & =\int (\frac{3}{x+1}+2\times \frac{2x-1}{x^2-x+1})dx\\ & =3\ln |x+1|+2\ln |x^2-x+1|+C\end{array}\end{array}$

درجة كثيرة الحدود في البيسط مساوية لدرجة كثيرة الحدود في المقام، أو أكبر منها

أتحقق من فهمي صفحة (53):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{4x^3-5}{2x^2-x-1}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}& \int \frac{4x^3-5}{2x^2-x-1}dx=\int (2x+1+\frac{3x-4}{2x^2-x-1})dx\\ & \frac{3x-4}{2x^2-x-1}=\frac{3x-4}{(2x+1)(x-1)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x-1}\\ & \Rightarrow 3x-4=A(x-1)+B(2x+1)\\ & x=-\frac{1}{2}\Rightarrow A=\frac{11}{3}\\ & x=1\Rightarrow B=-\frac{1}{3}\\ & \int \frac{4x^3-5}{2x^2-x-1}dx=\int (2x+1+\frac{\frac{11}{3}}{2x+1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x-1})dx\\ & =x^2+x+\frac{11}{6}\ln |2x+1|-\frac{1}{3}\ln |x-1|+C\end{array}$

 $\int \frac{x^2+x-1}{x^2-x}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2+x-1}{x^2-x}dx& =\int (1+\frac{2x-1}{x^2-x})dx\\ & =x+\ln |x^2-x|+C\end{array}$

التكامل بالكسور الجزئية لتكاملات محدودة

أتحقق من فهمي صفحة (54):

أجد كل قيمة من التكاملين الآتيين:

${\int }_3^4\frac{2x^3+x^2-2x-4}{x^2-4}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}{\int }_3^4\frac{2x^3+x^2-2x-4}{x^2-4}dx& ={\int }_3^4(2x+1+\frac{6x}{x^2-4})dx\\ & ={(x^2+x+3\ln |x^2-4|)|}_3^4\\ & =(20+3\ln 12)-(12+3\ln 5)\\ & =8+3\ln \frac{12}{5}\end{array}$

${\int }_5^6\frac{3x-10}{x^2-7x+12}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& \frac{3x-10}{x^2-7x+12}=\frac{3x-10}{(x-3)(x-4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-4}\\ & \Rightarrow 3x-10=A(x-4)+B(x-3)\\ & x=3\Rightarrow A=1\\ & \begin{array}{r}x=4\Rightarrow B=2\end{array}\\ & \begin{array}{rl}{\int }_5^6\frac{3x-10}{x^2-7x+12}dx& ={\int }_5^6(\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x-4})dx\\ & ={(\ln |x-3|+2\ln |x-4\left|\right)|}_5^6\\ & =\ln 3+2\ln 2-(\ln 2+2\ln 1)\\ & =\ln 3+\ln 2=\ln 6\end{array}\end{array}$

التكامل بالكسور الجزئية، والتكامل بالتعويض

أتحقق من فهمي صفحة (57):

أجد كلاً من التكاملين الآتيين:

$\int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{2}x-1}dx$ (a)

$\begin{array}{rl}& u=\tan x\Rightarrow \frac{du}{dx}={\sec }^{2}x⟹dx=\frac{du}{{\sec }^{2}x}\\ & \int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{2}x-1}dx=\int \frac{{\sec }^{2}x}{u^2-1}\frac{du}{{\sec }^{2}x}=\int \frac{1}{u^2-1}du\\ & \frac{1}{u^2-1}=\frac{1}{(u-1)(u+1)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+1}\\ & \Rightarrow 1=A(u+1)+B(u-1)\\ & u=1\Rightarrow A=\frac{1}{2}\\ & u=-1\Rightarrow B=-\frac{1}{2}\\ & \int \frac{1}{u^2-1}du=\int (\frac{\frac{1}{2}}{u-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{u+1})du\\ & =\frac{1}{2}\ln |u-1|-\frac{1}{2}\ln |u+1|+C=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C\\ & \Rightarrow \int \frac{{\sec }^{2}x}{{\tan }^{2}x-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\tan x-1}{\tan x+1}\right|+C\end{array}$

$\int \frac{e^x}{(e^x-1)(e^x+4)}dx$ (b)

$\begin{array}{rl}& u=e^x\Rightarrow \frac{du}{dx}=e^x\Rightarrow dx=\frac{du}{e^x}\\ & \int \frac{e^x}{(e^x-1)(e^x+4)}dx=\int \frac{e^x}{(u-1)(u+4)}\frac{du}{e^x}\\ & =\int \frac{1}{(u-1)(u+4)}du\\ & \frac{1}{(u-1)(u+4)}=\frac{A}{u-1}+\frac{B}{u+4}\\ & \Rightarrow 1=A(u+4)+B(u-1)+\\ & u=1\Rightarrow A=\frac{1}{5}\\ & u=-4\Rightarrow B=-\frac{1}{5}\\ & \int \frac{1}{(u-1)(u+4)}du=\int (\frac{\frac{1}{5}}{u-1}+\frac{-\frac{1}{5}}{u+4})du\\ & =\frac{1}{5}\ln |u-1|-\frac{1}{5}\ln |u+4|+C=\frac{1}{5}\ln \left|\frac{u-1}{u+4}\right|+C\\ & \Rightarrow \int \frac{e^x}{(e^x-1)(e^x+4)}dx=\frac{1}{5}\ln \left|\frac{e^x-1}{e^x+4}\right|+C\end{array}$