أتحقق من فهمي

المساحات والحجوم

مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة (77):

(a) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: $g\left(x\right)=x^2+1,g\left(x\right)=\sqrt{x}$، والمستقيمين $x=0,x=3$.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow x^2+1=\sqrt{x}$

هذه المعادلة ليس لها حلول إذ أن المنحنيين لا يتقاطعان كما في الشكل أدناه.

$\begin{array}{rl}A={\int }_0^3(x^2+1-\sqrt{x})dx& =\frac{1}{3}{x}^3+x-{\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}|}_0^3\\ & =9+3-2\sqrt{3}-0=12-2\sqrt{3}\end{array}$ 

(b) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: $g\left(x\right)=2-\sin x،f\left(x\right)=\sin x$، والمستقيمين $x=0,x=\mathrm{\pi }$.

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=g\left(x\right)& \Rightarrow 2-\sin x=\sin x\\ & \Rightarrow \sin x=1⟹x=\frac{\pi }{2}\end{array}$

نجد أن $g\ge f$ لكل قيم x، إذن:

$\begin{array}{rl}A={\int }_0^{\pi }\left(g\right(x)-f(x\left)\right)dx& ={\int }_0^{\pi }\left(\right(2-\sin x)-\sin x)dx\\ & ={\int }_0^{\pi }(2-2\sin x)dx\\ & =2x+{2\cos x|}_0^{\pi }=2\pi -4\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (79):

أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي اقترانين: $g\left(x\right)=x+2,f\left(x\right)=x^2$.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow x^2=x+2\\ & \Rightarrow x^2-x+2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\\ & \Rightarrow x=2,x=-1\end{array}$

نلاحظ أن $g>f$  في الفترة $(-1,\mathrm{\infty })$ إذن:

$\begin{array}{rl}A={\int }_{-1}^2\left(g\right(x)-f(x\left)\right)dx& ={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+2x-{\frac{1}{3}{x}^3|}_{-1}^2\\ & =\frac{1}{2}(2{)}^2+2(2)-\frac{1}{3}(2{)}^3-(\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3})=\frac{9}{2}\end{array}$

التكامل، ومنحنى السرعة المتجهة - الزمن

أتحقق من فهمي صفحة (81):

يبين الشكل المجاور منحنى السرعة المتجهة - الزمن لجسيم يتحرك على المحور $x$ في الفترة الزمنية [0,5]. إذا بدأ الجسيم الحركة من $x=3$ عندما $t=0$، فأجد كلاً مما يأتي:

(a) إزاحة الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

لتكن الإزاحة D

$\begin{array}{rl}D=s\left(5\right)-s\left(0\right)& ={\int }_0^{5}v\left(t\right)dt\\ & =A\left(R_1\right)-A\left(R_2\right)\\ & =\frac{1}{2}(2+3.5)\left(1\right)-\frac{1}{2}(1+1.5)\left(1\right)\\ & =1.5\mathrm{m}\end{array}$

(b) المسافة التي قطعها الجسيم في الفترة الزمنية المعطاة.

المساحة التي قطعها الجسيم هي: ${\int }_0^5\left|v\right(t\left)\right|dt$

$\begin{array}{rl}{\int }_0^5\left|v\right(t\left)\right|dt& =A\left(R_1\right)+A\left(R_2\right)\\ & =\frac{1}{2}(5.5)+\frac{1}{2}(2.5)\\ & =4\mathrm{m}\end{array}$

(c) الموقع النهائي للجسيم.

في الفرع a وجدنا أن:

$s\left(5\right)-s\left(0\right)=1.5$

وبتعويض $s\left(0\right)=3$ نجد أن:

$s\left(5\right)-3=1.5\Rightarrow s\left(5\right)=4.5 ------$

الحجوم الدورانية

أتحقق من فهمي صفحة (82):

أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$، والمحور $x$، والمستقيمين $x=1,x=4$، حول المحور $x$.

$V={\int }_a^b\pi \left(f\right(x){)}^2={\int }_1^4\frac{\pi }{x^2}dx=-{\frac{\pi }{x}|}_1^4=-\frac{\pi }{4}-(-\frac{\pi }{1})=\frac{3\pi }{4}$

حجم المجسم الدوراني الناتج من دوران منحنيي اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة (85):

أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $f\left(x\right)=\sqrt{x}$، و $g\left(x\right)=x^2$، حول المحور $x$.

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow \sqrt{x}=x^2\Rightarrow x-x^4=0\Rightarrow x(1-x^3)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=1\end{array}$

انلاحظ أن منحنى f يقع فوق منحنى g في الفترة [0,1]

$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^1\pi \left(\right(f\left(x\right){)}^2-\left(g\right(x\left){)}^2\right)dx\\ & ={\int }_0^1\pi (x-x^4)dx\\ & ={\pi (\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{5}{x}^5)|}_0^1=\pi ((\frac{1}{2}-\frac{1}{5})-0)=0.3\pi \end{array}$