أتدرب وأحل المسائل

المتجهات في الفضاء

أعيّن كلاً من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:

$(4,5,3)$ (1)

$(-2,3,-5)$ (2)

$(4,0,-3)$ (3)

أجد الطول وإحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة التي أعطي طرفاها في كل مما يأتي:

$(3,-2,8),(5,4,2)$ (4)

$\begin{array}{rl}& A(3,-2,8),B(5,4,2)\\ & AB=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\\ & =\sqrt{2^2+6^2+(-6{)}^2}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\\ & N=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})=(\frac{3+5}{2},\frac{-2+4}{2},\frac{8+2}{2})=(4,1,5)\end{array}$

$(-2,7,0),(2,-5,3)$ (5)

$\begin{array}{rl}& A(-2,7,0),B(2,-5,3)\\ & \begin{array}{rl}AB& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\\ & =\sqrt{16+144+9}=\sqrt{169}=13\\ & N=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})=(\frac{-2+2}{2},\frac{7-5}{2},\frac{0+3}{2})=(0,1,\frac{3}{2})\end{array}\end{array}$

$(12,8,-5),(-3,6,7)$ (6)

$\begin{array}{rl}& A(12,8,-5),B(-3,6,7)\\ & \begin{array}{rl}AB& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\\ & =\sqrt{225+4+144}=\sqrt{373}\\ & N=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})=(\frac{12-3}{2},\frac{8+6}{2},\frac{-5+7}{2})=(\frac{9}{2},7,1)\end{array}\end{array}$

$(-5,-8,4),(3,2,-6)$ (7)

$\begin{array}{rl}& A(-5,-8,4),B(3,2,-6)\\ & \begin{array}{rl}AB& =\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}\\ & =\sqrt{64+100+100}=\sqrt{264}=2\sqrt{66}\\ & \begin{array}{rl}N& =(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2})=(\frac{-5+3}{2},\frac{-8+2}{2},\frac{4-6}{2})\\ & =(-1,-3,-1)\end{array}\end{array}\end{array}$

أمثل كلاً من المتجهات الآتية بيانياً في الفضاء:

 $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨-3,-4,5⟩$ (8)

$\overrightarrow{\mathrm{m}}=⟨2,-3,-4⟩$ (9)

$\overrightarrow{\mathrm{p}}=⟨-3,5,-2⟩$ (10)

$\overrightarrow{\mathrm{e}}=-5\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{j}}+4\hat{\mathrm{k}}$ (11)

$\overrightarrow{AB}:A(4,1,1),B(-3,6,3)$ (12)

$\overrightarrow{GH}:G(1,-3,5),H(0,4,-2)$ (13)

أجد الصورة الإحداثية والمقدار للمتجه $\overrightarrow{\mathbf{A}\mathbf{B}}$ الذي أعطيت نقطة بدايته ونقطة نهايته في كل مما يأتي:

$A(4,6,9),B(-3,2,5)$ (14)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨-3-4,2-6,5-9⟩=⟨-7,-4,-4⟩\\ & \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{49+16+16}=\sqrt{81}=9\end{array}$

$A(-8,5,7),B(6,3,2)$ (15)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨6-(-8),3-5,2-7⟩=⟨14,-2,-5⟩\\ & \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{196+4+25}=\sqrt{225}=15\end{array}$

$A(12,-5,4),B(4,1,-1)$ (16)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨4-12,1-(-5),-1-4⟩=⟨-8,6,-5⟩\\ & \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{64+36+25}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\end{array}$

$A(24,-8,10),B(10,6,3)$ (17)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{AB}=⟨10-24,6-(-8),3-10⟩=⟨-14,14,-7⟩\\ & \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{196+196+49}=\sqrt{441}=21\end{array}$

(18) إذا كان OAB مثلثاً فيه: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{\mathrm{a}}$، والنقطة C هي منتصف $\overrightarrow{AB}$، فأكتب المتجه $\overrightarrow{OC}$ بدلالة $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ و$\overrightarrow{b}$.

$\begin{array}{rl}\overline{OC}& =\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{b}}-\overrightarrow{\mathrm{a}})=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{\mathrm{b}})\end{array}$

إذا كان: $\overrightarrow{\mathbf{e}}\mathbf{=}\mathbf{⟨}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{⟩}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{f}}\mathbf{=}\mathbf{5}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{3}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{7}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{,}\overrightarrow{\mathbf{g}}\mathbf{=}\mathbf{⟨}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{8}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{⟩}$، فأجد كلاً مما يأتي:

$3\overrightarrow{\mathrm{e}}+4\overrightarrow{\mathrm{f}}$ (19)

$\begin{array}{rl}3\overrightarrow{\mathrm{e}}+4\overrightarrow{\mathrm{f}}& =3⟨-3,9,-4⟩+4⟨5,-3,7⟩=⟨-9,27,-12⟩+⟨20,-12,28⟩\\ & =⟨11,15,16⟩\end{array}$

$\overrightarrow{\mathrm{e}}+\overrightarrow{\mathrm{f}}-3\overrightarrow{\mathrm{g}}$ (20)

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{e}}+\overrightarrow{\mathrm{f}}-3\overrightarrow{\mathrm{g}}& =⟨-3,9,-4⟩+⟨5,-3,7⟩-3⟨-1,8,-5⟩\\ & =⟨5,-18,18⟩\end{array}$

$4\overrightarrow{\mathrm{e}}-2\overrightarrow{\mathrm{f}}+3\overrightarrow{\mathrm{g}}$ (21)

$\begin{array}{rl}4\overrightarrow{\mathrm{e}}-2\overrightarrow{\mathrm{f}}+3\overrightarrow{\mathrm{g}}& =4⟨-3,9,-4⟩-2⟨5,-3,7⟩+3⟨-1,8,-5⟩\\ & =⟨-25,66,-45⟩\end{array}$

$2\overrightarrow{\mathrm{e}}+7\overrightarrow{\mathrm{f}}-2\overrightarrow{\mathrm{g}}$ (22)

$\begin{array}{rl}2\overrightarrow{\mathrm{e}}+7\overrightarrow{\mathrm{f}}-2\overrightarrow{\mathrm{g}}& =2⟨-3,9,-4⟩+7⟨5,-3,7⟩-2⟨-1,8,-5⟩\\ & =⟨31,-19,51⟩\end{array}$

إذا كانت: $\mathit{A}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{B}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{C}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)}$ نقاطاً في الفضاء، فأجد كلاً مما يأتي:

(23) متجه موقع كل من النقاط: A وB وC.

$\overrightarrow{OA}=⟨-1,6,5⟩,\overrightarrow{OB}=⟨0,1,-4⟩,\overrightarrow{OC}=⟨2,1,1⟩$

(24) متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A.

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=⟨-1,6,5⟩-⟨0,1,-4⟩=⟨-1,5,9⟩$

(25) متجه الإزاحة من النقطة C إلى النقطة B.

$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=⟨0,1,-4⟩-⟨2,1,1⟩=⟨-2,0,-5⟩$

(26) المسافة بين النقطة C والنقطة B.

$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{4+0+25}=\sqrt{29}$

أكتب كلاً من المتجهات الآنية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:

$\overrightarrow{\mathrm{g}}=⟨5,7,-1⟩$ (27)

$\overrightarrow{\mathrm{g}}=5\hat{\mathrm{i}}+7\hat{ȷ}-\hat{\mathrm{k}}$

$\overrightarrow{ST}:S(1,0,-5),T(2,-2,0)$ (28)

$\overrightarrow{ST}=(2-1)\hat{\mathrm{i}}+(-2-0)\hat{ȷ}+(0-(-5\left)\right)\hat{\mathrm{k}}=\hat{ı}-2\hat{ȷ}+5\hat{\mathrm{k}}$

$-\overrightarrow{\mathrm{a}}+3\overrightarrow{\mathrm{b}}:\overrightarrow{\mathrm{a}}=1\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}}-4\hat{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{b}}=4\hat{\mathrm{i}}-3\hat{\mathrm{j}}+5\hat{\mathrm{k}}$ (29)

$-\overrightarrow{\mathrm{a}}+3\overrightarrow{\mathrm{b}}=-\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}+4\hat{\mathrm{k}}+12\hat{\mathrm{i}}-9\hat{ȷ}+15\hat{\mathrm{k}}=11\hat{\mathrm{i}}-11\hat{ȷ}+19\hat{\mathrm{k}}$

أجد متجه وحدة في اتجاه كل متجه مما يأتي:

$-4\hat{\mathrm{i}}+3\hat{\mathrm{j}}$ (30)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{v}}=-4\hat{\mathrm{i}}+3\hat{ȷ}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{16+9}=5\\ & \hat{\mathrm{v}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\mathrm{v}}=\frac{-4}{5}\hat{\mathrm{i}}+\frac{3}{5}\hat{ȷ}\end{array}$

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه $\overrightarrow{\mathrm{v}}$

$143\hat{\mathrm{i}}-24\hat{\mathrm{j}}$ (31)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{v}}=143\hat{\mathrm{i}}-24\hat{ȷ}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{20449+576}=\sqrt{21025}=145\\ & \hat{\mathrm{v}}=\frac{1}{145}\overrightarrow{\mathrm{v}}=\frac{143}{145}\hat{\mathrm{i}}-\frac{24}{145}\hat{ı}\end{array}$

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه $\overrightarrow{\mathrm{v}}$

$-72\hat{\mathrm{i}}+33\hat{\mathrm{j}}+56\hat{\mathrm{k}}$ (32)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{v}}=-72\hat{\mathrm{i}}+33\hat{ȷ}+56\hat{\mathrm{k}}\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{5184+1089+3136}=\sqrt{9409}=97\\ & \hat{\mathrm{v}}=\frac{1}{97}\overrightarrow{\mathrm{v}}=\frac{-72}{97}\hat{\mathrm{i}}+\frac{33}{97}\hat{ı}+\frac{56}{97}\hat{\mathrm{k}}\end{array}$

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه $\overrightarrow{\mathrm{v}}$

$\left(\begin{array}{c}11\\ 13\\ 8\end{array}\right)$ (33)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}11\\ 13\\ 8\end{array}\right)\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{121+169+64}=\sqrt{354}\\ & \hat{\mathrm{v}}=\frac{1}{\sqrt{354}}\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}\frac{11}{\sqrt{354}}\\ \frac{13}{\sqrt{354}}\\ \frac{8}{\sqrt{354}}\end{array}\right)\end{array}$

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه $\overrightarrow{\mathrm{v}}$

$\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ (34)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}5\\ -4\\ -2\end{array}\right)\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{25+16+4}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\ & \hat{\mathrm{v}}=\frac{1}{3\sqrt{5}}\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{3\sqrt{5}}\\ \frac{-4}{3\sqrt{5}}\\ \frac{-2}{3\sqrt{5}}\end{array}\right)\end{array}$

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه $\overrightarrow{\mathrm{v}}$

$\overrightarrow{\mathrm{n}}=⟨-2,0,3⟩$ (35)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{n}}=⟨-2,0,3⟩\\ & \left|\overrightarrow{\mathrm{n}}\right|=\sqrt{4+0+9}=\sqrt{13}\\ & \hat{\mathrm{n}}=\frac{1}{\sqrt{13}}\overrightarrow{\mathrm{n}}=⟨\frac{-2}{\sqrt{13}},0,\frac{3}{\sqrt{13}}⟩\end{array}$

وهذا هو متجه الوحدة في اتجاه $\overrightarrow{n}$

(36) إذا كان: $\overrightarrow{\mathrm{a}}=-3\hat{\mathrm{i}}+4\hat{\mathrm{j}}+12\hat{\mathrm{k}},\overrightarrow{\mathrm{b}}=7\hat{\mathrm{i}}+39\hat{\mathrm{j}}-2\hat{\mathrm{k}}$، وكان: $3\overrightarrow{\mathrm{a}}+c\overrightarrow{\mathrm{b}}=-23\hat{\mathrm{i}}-66\hat{\mathrm{j}}+40\hat{\mathrm{k}}$، فأجد قيمة c.

$\begin{array}{rl}& 3\overrightarrow{\mathrm{a}}+c\overrightarrow{\mathrm{b}}=3(-3\hat{\mathrm{i}}+4\hat{ȷ}+12\hat{\mathrm{k}})+c(7\hat{\mathrm{i}}+39\hat{\mathrm{j}}-2\hat{\mathrm{k}})\\ & =(-9+7c)\hat{\mathrm{i}}+(12+39c)\hat{ȷ}+(36-2c)\hat{\mathrm{k}})\\ & \Rightarrow -23\hat{\mathrm{i}}-66\hat{\mathrm{j}}+40\hat{\mathrm{k}}=(-9+7c)\hat{ı}+(12+39c)\hat{ȷ}+(36-2c)\hat{\mathrm{k}})\end{array}$

في هذاه المعادلة يتساوى المتجهان، إذن، فإن إحداثياتهما المتناظرة متساوية:

$-9+7c=-23,12+39c=-66,36-2c=40\mathrm{\pi }$

وعند حل هذه المعادلات نجد أن لها الحل نفسه $c=-2$

(37) إذا كان: $\overrightarrow{\mathrm{s}}=\left(\begin{array}{c}2\\ w+47\\ -4\end{array}\right),\overrightarrow{\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{l}3\\ v\\ 2\end{array}\right):$، وكان: $k\overrightarrow{\mathrm{s}}-4\overrightarrow{\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{c}6\\ 31\\ w\end{array}\right)$، فأجد قيمة كل من v وw وk.

$\begin{array}{rl}& k\overrightarrow{\mathrm{s}}-4\overrightarrow{\mathrm{t}}=k\left(\begin{array}{c}2\\ w+47\\ -4\end{array}\right)-4\left(\begin{array}{c}3\\ v\\ 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2k-12\\ k(w+47)-4v\\ -4k-8\end{array}\right)\\ & \Rightarrow \left(\begin{array}{c}6\\ 31\\ w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2k-12\\ k(w+47)-4v\\ -4k-8\end{array}\right)\\ & \Rightarrow 2k-12=6\Rightarrow k=9\\ & -4k-8=w\Rightarrow w=-36-8=-44\\ & k(w+47)-4v=31\Rightarrow 9(-44+47)-4v=31\Rightarrow v=-1\end{array}$

(38) إذا كان: $\overrightarrow{\mathrm{m}}=⟨4,1,-2⟩,\overrightarrow{\mathrm{n}}=⟨6,2,-3⟩,\overrightarrow{\mathrm{p}}=⟨2,a,-1⟩,5\overrightarrow{\mathrm{m}}+2\overrightarrow{\mathrm{p}}=4\overrightarrow{\mathrm{n}}$، فما قيمة الثابت a؟

$\begin{array}{rl}& 5\overrightarrow{\mathrm{m}}+2\overrightarrow{\mathrm{p}}=4\overrightarrow{\mathrm{n}}\\ & 5⟨4,1,-2⟩+2⟨2,a,-1⟩=4⟨6,2,-3⟩\\ & ⟨24,5+2a,-12⟩=⟨24,8,-12⟩\end{array}$

في هذه المعادلة يتساوى المتجهان، إذن، فإن إحداثياتهما المتناظرة متساوية:

$5+2a=8\Rightarrow a=\frac{3}{2}$

(39) إذا كان: $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨u-3,u+1,u-2⟩$، وكان: $\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=17$، فما قيمة u ؟

$$\begin{gathered} \left|\overrightarrow{\mathbf{v}}\right|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}=\sqrt{(u-3{)}^2+(u+1{)}^2+(u-2{)}^2}=17 \left(\mathrm{الأقواس} \mathrm{وفك} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right) \\ \begin{array}{rl}& u^2-6u+9+u^2+2u+1+u^2-4u+4=289\\ & 3u^2-8u-275=0\\ & u=\frac{8\pm \sqrt{3364}}{2\left(3\right)}=\frac{8\pm 58}{6}\\ & u=\frac{-50}{6}=\frac{-25}{3} \mathrm{أو} u=\frac{66}{6}=11\end{array} \end{gathered}$$

(40) إذا كان متجها الموقع للنقطة G والنقطة H هما: $\overrightarrow{\mathrm{g}}=⟨-2,c+1,-8⟩$ و$\overrightarrow{\mathrm{h}}=⟨c-1,-4,c+2⟩$، على الترتيب، فأجد قيمة c، علماً بأن: $\left|\overrightarrow{GH}\right|=19$، وأن: $c>0$.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \overrightarrow{GH}=⟨c-1-(-2),-4-(c+1),c+2-(-8)⟩=⟨c+1,-5-c,c+10⟩\\ & \left|\overrightarrow{GH}\right|=\sqrt{(c+1{)}^2+(-5-c{)}^2+(c+10{)}^2}=19 \left(\mathrm{الأقواس} \mathrm{وفك} \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c^2+2c+1+25+10c+c^2+c^2+20c+100=361\\ & \Rightarrow 3c^2+32c-235=0\\ & \Rightarrow c=\frac{-32\pm \sqrt{3844}}{6}=\frac{-32\pm 62}{6}\end{array} \\ c=\frac{-94}{6}=\frac{-47}{3} \mathrm{أو} c=\frac{30}{6}=5 \end{gathered}$$

ولكن $c>0$ إذن، $c=5$