أتحقق من فهمي

المستقيمات في الفضاء

توازي المتجهات

أتحقق من فهمي صفحة (127):

إذا كان: $\mathit{G}\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{H}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{K}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathit{L}\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}$، فأحدد إن كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا:

$\overrightarrow{GH},\overrightarrow{KL}$ (a)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{GH}=⟨-3,-1,7⟩\\ & \overrightarrow{KL}=⟨3,2,0⟩\end{array}$

نلاحظ أنه لا يوجد عدد حقيقي $c$ يجعل العبارة $\overrightarrow{GH}=c\left(\overrightarrow{KL}\right)$ صحيحة، ونستنتج أن $\overrightarrow{GH},\overrightarrow{KL}$ غير متوازيين.

$\overrightarrow{GL},\overrightarrow{HK}$ (b)

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{GL}=⟨0,2,14⟩\\ & \overrightarrow{HK}=⟨0,1,7⟩\end{array}$

نلاحظ أن $\overrightarrow{GL}=2\overrightarrow{HK}$، ونستنتج أن $\overrightarrow{GL}\parallel \overrightarrow{HK}$

أتحقق من فهمي صفحة (129):

في المثلث RST المجاور، إذا كان: $\overline{RS}=4\overrightarrow{a},\overline{RT}=6\overrightarrow{b}$ والنقطة U منتصف $\overline{RS}$، والنقطة V منتصف $\overline{RT}$، فأثبت أن $\overrightarrow{ST}$ يوازي $\overrightarrow{UV}$. 

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{UV}& =\overrightarrow{UR}+\overrightarrow{RV}\\ & =\frac{1}{2}(-4\overrightarrow{\mathrm{a}})+\frac{1}{2}\left(6\overrightarrow{\mathrm{b}}\right)=3\overrightarrow{\mathrm{b}}-2\overrightarrow{\mathrm{a}}\\ \overrightarrow{ST}& =\overrightarrow{SR}+\overrightarrow{RT}\\ & =-4\overrightarrow{\mathrm{a}}+6\overrightarrow{\mathrm{b}}=2(3\overrightarrow{\mathrm{b}}-2\overrightarrow{\mathrm{a}})\end{array}$

إذن، $,\overrightarrow{ST}=2\overrightarrow{UV}$ ومنه المتجهان $\overrightarrow{ST},\overrightarrow{UV}$ متوازيان.

أتحقق من فهمي صفحة (130):

يظهر في الشكل المجاور المثلث OAB.

إذا كان: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$، وكانت النقطة D تقع على $\overline{OB}$، والنقطة E منتصف $\overline{AB}$، والنقطة F تقع على $\overline{AD}$، حيث: $\overrightarrow{OF}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$، فأثبت أن O، وF، وE تقع على استقامة واحدة. 

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{OF}=\frac{2}{5}(\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}})⟹\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\frac{5}{2}\overrightarrow{OF}\dots \dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BE}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\\ & =\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA})\\ & =\overrightarrow{\mathrm{b}}+\frac{1}{2}(-\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{a}})\\ & =\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\\ & \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=2\overrightarrow{OE}..................\left(2\right)\end{array}$

من العلاقتين (1) و(2) نستنتج أن: 

$\frac{5}{2}\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OE}\Rightarrow \overrightarrow{OF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{OE}$

وهذا يعني أن المتجهين $\overrightarrow{OF},\overrightarrow{OE}$ متوازيان، وبما أنهما ينطلقان من النقطة $O$ نفسها، إذن النقاط $O,E,F$ تقع على استقامة واحدة.

المعادلة المتجهة للمستقيم

أتحقق من فهمي صفحة (132):

أجد معادلة متجهة للمستقيم l الذي يوازي المتجه: $\overrightarrow{v}=⟨1,-4,-5⟩$، ويمر بالنقطة $U(0,-6,9)$.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{\mathrm{r}}={\overrightarrow{\mathrm{r}}}_0+t\overrightarrow{\mathrm{v}}\\ & \overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨0,-6,9⟩+t⟨1,-4,-5⟩\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (133):

أجد معادلة متجهة للمستقيم l المار بالنقطتين: $N(2,-4,3)g،M(3,7,-9)$.

$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{NM}=⟨3-2,7-(-4),-9-3⟩=⟨1,11,-12⟩\\ & \overrightarrow{\mathrm{r}}={\overrightarrow{\mathrm{r}}}_0+t\overrightarrow{\mathrm{v}}\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨3,7,-9⟩+t⟨1,11,-12⟩\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة (136):

تمثل: $\overrightarrow{\mathbf{r}}\mathbf{=}\mathbf{11}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{+}\mathbf{5}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{-}\mathbf{6}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{+}\mathit{t}\mathbf{(}\mathbf{7}\hat{\mathbf{i}}\mathbf{-}\mathbf{2}\hat{\mathbf{j}}\mathbf{+}\mathbf{5}\hat{\mathbf{k}}\mathbf{)}$ معادلة متجهة للمستقيم l:

(a) أبين أن النقطة التي متجه الموقع لها هو $(39\hat{\mathrm{i}}-3\hat{\mathrm{j}}+14\hat{\mathrm{k}})$ تقع على المستقيم l.

$\overrightarrow{\mathrm{r}}=(11+7t)\hat{\mathrm{i}}+(5-2t)\hat{ȷ}+(-6+5t)\hat{\mathrm{k}}$

نبحث عن قيمة ل $t$ تحقق:

$\begin{array}{rl}& 39\hat{\mathrm{i}}-3\hat{ȷ}+14\hat{\mathrm{k}}=(11+7t)\hat{\mathrm{i}}+(5-2t)\hat{ȷ}+(-6+5t)\hat{\mathrm{k}}\\ & 39=11+7t\Rightarrow t=4\\ & -3=5-2t\Rightarrow t=4\\ & 14=-6+5t\Rightarrow t=4\end{array}$

 بما أن للمعادلات الثلاث الحل نفسه $(t=4)$، فإن القطة التي متجه موقعها $39\hat{\mathrm{i}}-3\hat{ȷ}+14\hat{\mathrm{k}}$ وهي النقطة $(39,-3,14)$ تقع على المستقيم $l$ لأنها تنتج من تعويض $t=4$ في معادلته.

(b) أجد متجه الموقع للنقطة التي تقع على هذا المستقيم، وتقابل القيمة: 3-= t.

$\begin{array}{rl}t=-3\Rightarrow & \overrightarrow{\mathrm{r}}=(11+7(-3\left)\right)\hat{\mathrm{i}}+(5-2(-3\left)\right)\hat{ȷ}+(-6+5(-3\left)\right)\hat{\mathrm{k}}\\ & =-10\hat{\mathrm{i}}+11\hat{ȷ}-21\hat{\mathrm{k}}\end{array}$

(c) إذا كانت النقطة $(v,-3v,5v-1)$ تقع على المستقيم l، فما قيمة v؟

متجه الموقع للنقطة $v\hat{ı}-3v\hat{ȷ}+(5v-1)\hat{\mathrm{k}}ه(v,-3v,5v-1)\hat{2}$

$\begin{array}{rl}& v\hat{\mathrm{i}}-3v\hat{ȷ}+(5v-1)\hat{\mathrm{k}}=(11+7t)\hat{1}+(5-2t)\hat{ȷ}+(-6+5t)\hat{\mathrm{k}}\\ & v=11+7t\dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & -3v=5-2t\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & 5v-1=-6+5t\dots \dots \left(3\right)\\ & \left(1\right)\times 3+\left(2\right)\Rightarrow 0=38+19t\\ & \Rightarrow t=-2\\ & \Rightarrow v=-3\end{array}$

تتحقق من أن $v=-3,t=-2$ تحققان المعادلة (3)

$\begin{array}{c}5(-3)-1=-6+5(-2)\\ -16=-16\end{array}$

إذن، قيمة $v$ التي تجعل النقطة $(v,-3v,5v-1)$ واقعة على المستقيم $l$ هي: $v=-3$

المستقيمات المتوازية والمتقاطعة والمتخالفة

أتحقق من فهمي صفحة (136):

إذا كانت: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨3,7,-9⟩+t⟨1,11,-12⟩$ معادلة متجهة للمستقيم $l_1$، وكانت: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨-30,-6,30⟩+u⟨4,-6,3⟩$ معادلة متجهة للمستقيم $l_2$، ، فأحدد إذا كان المستقيمان: $l_2,l_1$ متوازيين، أو متقاطعين، أو متخالفين، ثم أجد إحداثيات نقطة تقاطعهما إذا كانا متقاطعين.

 اتجاه المستقيم $l_1$ هو ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_1=⟨1,11,-12⟩$ 

اتجاه المستقيم $l_2$ هو ${\overrightarrow{v}}_2=⟨4,-6,3⟩$

وبما أنه لا يوجد عدد حقيقي k بحيث ${\overrightarrow{v}}_1=k{\overrightarrow{v}}_2$ فإن المستقيمين غير متوازيين.

نساوي $\overrightarrow{\mathrm{r}}$ من معادلتي المستقيمين:

$\begin{array}{rl}& ⟨3,7,-9⟩+t⟨1,11,-12⟩=⟨-30,-6,30⟩+u⟨4,-6,3⟩\\ & 3+t=-30+4u\Rightarrow t-4u=-33\dots \dots \dots \dots \dots \left(1\right)\\ & 7+11t=-6-6u\Rightarrow 11t+6u=-13\dots \dots \dots \dots \left(2\right)\\ & -9-12t=30+3u\Rightarrow 12t+3u=-39\dots \dots \dots \dots \text{(3)}\\ & 3\times \left(1\right)+2\times \left(2\right)\Rightarrow 25t=-125\Rightarrow t=-5,u=7\end{array}$

نتحقق من أن $u=7,t=-5$ تحققان المعادلة (3)

$\begin{array}{rl}& 12(-5)+3\left(7\right)\stackrel{?}{=}-39\\ & -39=-39\end{array}$

بما أن قيمة $t$ وقيمة $u$ حققتا المعادلات الثلاث، فإن المستقيمين متقاطعان.

لإيجاد إحداثيات نقطة التقاطع نعوض $t=-5$ في معادلة $l_1$:

$\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨3,7,-9⟩-5⟨1,11,-12⟩=⟨-2,-48,51⟩$

إذن، يتقاطع المستقيمان في النقطة $(-2,-48,51)$ 

أتحقق من فهمي صفحة (138):

عرض جوي: أقلعت طائرة من موقع إحداثياته: $(0,7,0)$. وفي الوقت نفسه، أقلعت طائرة ثانية من موقع إحداثياته: $(-2,0,0)$. وبعد التحليق مدة قصيرة في مسارين مستقيمين، أصبحت الطائرة الأولى عند الموقع الذي إحداثياته: $(8,15,16)$، وأصبحت الطائرة الثانية عند الموقع الذي إحداثياته: $(22,24,48)$. هل خطا سير الطائرتين متوازيان، أم متقاطعان، أم متخالفان؟

اتجاه الطائرة الأولى هو اتجاه الطائرة الأولى هو ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_1=⟨8-0,15-7,16-0⟩=⟨8,8,16⟩$

ويمكن تبسيطه بالقسسة على 8 ليصبح: $⟨1,1,2⟩$

معادلة مسار الأولى: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨0,7,0⟩+t⟨1,1,2⟩$

اتجاه الثانية هو ${\overrightarrow{\mathrm{v}}}_2=⟨22-(-2),24-0,48-0⟩=⟨24,24,48⟩$

ويمكن تبسيطه بالقسمة على 24 دون تغيير اتجاهه ليصبح: $⟨1,1,2⟩$

معادلة مسار الثانية: $\overrightarrow{\mathrm{r}}=⟨-2,0,0⟩+u⟨1,1,2⟩$

نلاحظ أن المسارين متوازيان لأن لهما الاتجاه نفسه.