مسألة اليوم

الضرب القياسي

أطلق صاروخ من النقطة $(1,2,1)$، ثم وصل بعد ثانيتين إلى النقطة $(9,13,21)$. وفي الوقت نفسه، أطلق صاروخ آخر من النقطة $(4,-3,2)$، ووصل بعد ثانيتين إلى النقطة $(14,1,18)$. ما قياس الزاوية بين مساري الصاروخين؟

اتجاه مسار الصاروخ الأول: $\overrightarrow{\mathrm{v}}=⟨8,11,20⟩$

اتجاه مسار الصاروخ الثاني: $\overrightarrow{\mathrm{u}}=⟨10,4,16⟩$

$\begin{array}{rl}& \left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\sqrt{64+121+400}=\sqrt{585}=3\sqrt{65}\\ & \left|\mathrm{u}\right|=\sqrt{100+16+256}=\sqrt{372}=2\sqrt{93}\\ & \overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}=8\left(10\right)+11\left(4\right)+20\left(16\right)=80+44+320=444\end{array}$

لتكن $\theta$ قياس الزاوية بين مساري الصاروخين، إذن:

$\theta =co{s}^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{\mathrm{u}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|\left|\mathrm{u}\right|}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{444}{3\sqrt{65}\times 2\sqrt{93}}\right)=co{s}^{-1}\left(\frac{74}{\sqrt{6045}}\right)\approx 17.9^{\circ }$