أتدرب وأحل المسائل

النمو والاضمحلال الأسي

يبلغ عدد المشاركين في مؤتمر طبي 150 طبيباً هذه السنة، ويتوقع زيادة هذا العدد بنسبة 8% كل سنة:

(1) أكتب اقتران النمو الأسي الذي يمثل عدد المشاركين بعد t سنة.

A(t) = a(1 + r)^t

A(t) = 150(1 + 0.08)^t

A(t) = 150(1.08)^t

(2) أجد عدد المشاركين المتوقع بعد 5 سنوات.

A(5) = 150(1.08)⁵ ≈ 220

عدد المشاركين بعد 5 سنوات هو 220 تقريباً.

استخدم 50 ألف شخص موقعاً إلكترونياً تعليمياً سنة 2019م، ثم ازداد عدد مستخدمي الموقع بنسبة 15% كل سنة:

(3) أكتب اقتران النمو الأسي الذي يمثل عدد مستخدمي الموقع بعد t سنة.

A(t) = a(1 + r)^t

A(t) = 50000(1 + 0.15)^t

A(t) = 50000(1.15)^t

(4) أجد عدد مستخدمي الموقع سنة 2025م.

t = 2025 – 2019 = 6

A(6) = 50000(1.15)⁶ ≈ 115653

عدد مستخدمي الموقع سنة 2025 م: 115653 تقريباً.

سيارة: يتناقص ثمن سيارة سعرها 17350 JD بنسبة 3.5% سنوياً:

(5) أكتب اقتران الاضمحلال الأسي لثمن السيارة بعد t سنة.

A(t) = a(1 + r)^t

A(t) = 17350(1 - 0.035)^t

A(t) = 17350(0.965)^t

(6) أجد ثمن السيارة بعد 3 سنوات.

A(3) = 17350(0.965)³ ≈ 15591.27

ثمن السيارة بعد 3 سنوات هو 15591.27 JD تقريباً.

بكتيريا: يتناقص عدد الخلايا البكتيرية في عينة مخبرية بنسبة 27% كل ساعة بعد إضافة مضاد حيوي إلى العينة:

(7) أكتب اقتران الاضمحلال الأسي الذي يمثل عدد الخلايا البكتيرية بعد t ساعة، علماً بأن عددها عند إضافة المضاد الحيوي هو 15275 خلية.

A(t) = a(1 + r)^t

A(t) = 15275(1 - 0.27)^t

A(t) = 15275(0.73)^t

(8) أجد عدد الخلايا البكتيرية في العينة بعد 7 ساعات.

A(7) = 15275(0.73)⁷ ≈ 1687

عدد الخلايا البكتيرية في العينة بعد 7 ساعات هو 1687 خلية تقريباً.

(9) دجاج: ينفق الدجاج في مزرعة للدواجن بنسبة 25% يومياً نتيجة إصابته بمرض ما. أجد العدد المتبقي منه بعد 5 أيام من بدء المرض، علماً بأن عدده الأولي في المزرعة هو 1550 دجاجة.

A(t) = a(1 + r)^t

A(5) = 1550(1 - 0.25)⁵ = 1550(0.75)⁵ ≈ 368

العدد المتبقي من الدجاج بعد 5 أيام من المرض هو 368 دجاجة تقريباً.

استثمر ربيع مبلغ 1200 JD في شركة، بنسبة ربح مركب تبلغ 10% ، وتضاف كل شهر:

(10) أكتب صيغة تمثل جملة المبلغ بعد t سنة.

A = P(1 + $\frac{r}{n}$)^nt = 1200(1 + $\frac{0.10}{12}$)^12t

(11) أجد جملة المبلغ بعد 5 سنوات.

A = 1200(1 + $\frac{0.10}{12}$)^12x5 ≈ 1974.37

جملة المبلغ بعد 5 سنوات هو 1974.37 JD تقريباً.

استثمرت هند مبلغ 6200 JD في شركة، بنسبة ربح مركب تبلغ 8.4% ، وتضاف كل يوم:

(12) أكتب صيغة تمثل جملة المبلغ بعد t سنة.

A = P(1 + $\frac{r}{n}$)^nt = 6200(1 + $\frac{0.084}{365}$)^365t

(13) أجد جملة المبلغ بعد 6 سنوات.

A = 6200(1 + $\frac{0.084}{365}$)^265x6 ≈ 10262.45

جملة المبلغ بعد 6 سنوات هو 10262.45 JD تقريباً.

(14) أودع حسام مبلغ 9000 JD في حساب بنكي، بنسبة ربح مركب مستمر مقدارها 3.6% ، أجد جملة المبلغ بعد 7 سنوات.

A = Pe^rt = 9000e^0.036x7 ≈ 11579.36

جملة المبلغ بعد 7 سنوات هو 11579.36 JD تقريباً.

(15) أودعت ليلى مبلغ 8200 JD في حساب بنكي، بنسبة ربح مركب مستمر مقدارها 4.9% ، أجد جملة المبلغ بعد 9 سنوات.

A = Pe^rt = 8200e^0.049x9 ≈ 12744.94

جملة المبلغ بعد 7 سنوات هو 12744.94 JD تقريباً.

(16) ذباب الفاكهة: أعد باحث دراسة عن تكاثر ذباب الفاكهة، وتوصل إلى أنه يمكن تمثيل العدد التقريبي للذباب بالاقتران: P(t) = 20e^0.03t ، حيث P عدد الذباب بعد t ساعة. أجد عدد ذباب الفاكهة بعد 72 ساعة من بدء الدراسة مقرباً إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

P(t) = 20e^0.03t

P(72) = 20e^0.03x72 ≈ 173

عدد ذباب الفاكهة بعد 72 ساعة من بدء الدراسة هو 173 ذبابة تقريباً.