أتدرب وأحل المسائل

الاقترانات اللوغاريتمية

أكتب كل معادلة لوغاريتمية ممّا يأتي في صورة أسيّة:

(1) log₇ 343 = 3

7³ = 343

(2) log₄ 256 = 4

4⁴ = 256

(3) log₁₂₅ 5 = $\frac{1}{3}$

${125}^{\frac{1}{3}}$ = 5

(4) log₃₆ 6 = 0.5

36^0.5 = 6

(5) log₉ 1 = 0

9⁰ = 1

(6) log₅₇ 57 = 1

57¹ = 57

أكتب كل معادلة أسيّة ممّا يأتي في صورة لوغاريتمية:

(7) 2⁶ = 64

log₂ 64 = 6

(8) 4^-3 = $\frac{1}{64}$

log₄ $\frac{1}{64}$ = -3

(9) 6³ = 216

log₆ 216 = 3

(10) 5^-3 = 0.008

log₅ 0.008 = -3

(11) (51)¹ = 51

log₅₁ 51 = 1

(12) 9⁰ = 1

log₉ 1 = 0

أجد قيمة كل ممّا يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

(13) log₃ 81

log₃ 81 = log₃ 3⁴ = 4

(14) log₂₅ 5

log₂₅ 5 = y

25^y = 5

5^2y = 5¹

2y = 1

y = $\frac{1}{2}$ 

إذن: $\frac{1}{2}$ log₂₅ 5 =

(15) log₂ 32 

log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

إذن: log₂ 32  = 5

(16) log₄₉ 343

log₄₉ 343 = y

49^y = 343

7^2y = 7³

2y = 3

y = $\frac{3}{2}$

إذن:log49 343 = $\frac{3}{2}$ 

(17) log₁₀ 0.001

log₁₀ 0.001 = log₁₀ 10^-3 = -3

(18) log_{$\frac{3}{2}$} 1

log_{$\frac{3}{2}$} 1 = 0

(19) log_{$\frac{1}{4}$} 4

log_{$\frac{1}{4}$} 4 = y

(_{$\frac{1}{4}$})^y = 4

4^-y = 4¹

-y = 1

y = -1

إذن:log_{$\frac{1}{4}$} 4  = -1

(20) ${{{\left(10\right)}^{\log }}_{10}}^{\frac{1}{8}}$

${{{\left(10\right)}^{\log }}_{10}}^{\frac{1}{8}}$  = $\frac{1}{8}$

(21) log₂ $\frac{1}{\sqrt{{\left(2\right)}^7}}$ 

log₂ $\frac{1}{\sqrt{{\left(2\right)}^7}}$ = log₂ = log₂ $\frac{1}{{\left(2\right)}^{{\displaystyle \frac{7}{2}}}}$ = log₂ ${\left(2\right)}^{-\frac{7}{2}}$ = -$\frac{7}{2}$

(22) log_{a $\sqrt[5]{a}$}

log_{a $\sqrt[5]{a}$} = log_a $a^{\frac{1}{5}}$ = $\frac{1}{5}$

(23) log₁₀ (1 x 10^-9)  

log₁₀ (1 x 10^-9) = log₁₀ 10^-9 = -9

(24) 8^log$8^5$ 

8^log$8^5$ = 5

أمثل كل اقتران مما يأتي بيانياً، ثم أحدد مجاله ومداه ومقطعيه من المحورين الإحداثيين وخطوط تقاربه، مبيناً إذا كان متناقصاً أم متزايداً:

(25) f(x) = log₅ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0 , $\infty$).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(26) g(x) = log₄ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0 , $\infty$).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(27) h(x) = log_{$\frac{1}{5}$} x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0 , $\infty$).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(28) r(x) = log_{$\frac{1}{8}$} x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0 , $\infty$).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متناقص.

(29) f(x) = log₁₀ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0 , $\infty$).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

(30) g(x) = log₆ x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R⁺ أي (0 , $\infty$).

مدى هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R

المقطع x هو 1 ، ولا يوجد مقطع y

لهذا الاقتران خط تقارب رأسي هو المحور y

الاقتران متزايد.

أجد مجال كل اقتران لوغاريتمي مما يأتي:

(31) f(x) = log₃ (x – 2)

x – 2 > 0

x > 2

مجال هذا الاقتران هو (2 , $\infty$).

(32) f(x) = 5 – 2 log₇ (x + 1)

x + 1 > 0

x > -1

مجال هذا الاقتران هو (-1 , $\infty$).

(33) f(x) = -3 log₄ (-x)

-x > 0

x < 0

مجال هذا الاقتران هو ( , 0$\infty$).

(34) أجد قيمة a التي تجعل منحنى الاقتران: f(x) = log_a x يمر بالنقطة (32, 5).

f(x) = log_a x

f(32) = log_a 32

5 = log_a 32

a⁵ = 32

a⁵ = (2)⁵

a = 2

(35) أجد قيمة c التي تجعل منحنى الاقتران: f(x) = log_c x يمر بالنقطة ( $\frac{1}{4}$, -4).

f(x) = log_c x

f($\frac{1}{4}$) = log_c $\frac{1}{4}$

-4 = log_c $\frac{1}{4}$

c^-4 = $\frac{1}{4}$

$\frac{1}{c^4}$ = $\frac{1}{4}$

c⁴ = 4 → c² = 2 →  c = $\pm$$\sqrt{2}$

لأن أساس اللوغاريتم لا يكون سالباً فإن: $\sqrt{2}$ c =

إعلانات: يمثل الاقتران: P(a) = 10 + 20 log₅ (a + 1) مبيعات شركة (بآلاف الدنانير) من منتج جديد، حيث a المبلغ (بمئات الدنانير) الذي تنفقه الشركة على إعلانات المنتج. وتعني القيمة: P(1) ≈ 19 أن إنفاق JD 100 على الإعلانات يحقق إيرادات قيمتها JD 19000 من بيع المنتج:

(36) أجد P(4) ، و P(24) ، و P(124) .

P(a) = 10 + 20 log₅ (a + 1)

P(4) = 10 + 20 log₅ (4 + 1)

P(4) = 10 + 20 log₅ 5

P(4) = 10 + 20(1) = 30

P(24) = 10 + 20 log5 (24 + 1)

P(24) = 10 + 20 log₅ 25

P(24) = 10 + 20 log₅ 5²

P(24) = 10 + 20(2) = 50

P(124) = 10 + 20 log₅ (124 + 1)

P(124) = 10 + 20 log₅ 125

P(124) = 10 + 20 log₅ 5³

P(124) = 10 + 20(3) = 70

(37) أفسر معنى القيم التي أوجدتها في الفرع السابق.

القيمة P(4) = 30 تعني أن إنفاق JD400 على الإعلانات يحقق إيراداً قيمته JD30000 من بيع المنتج.

القيمة P(24) = 50 تعني أن إنفاق JD2400 على الإعلانات يحقق إيراداً قيمته JD50000 من بيع المنتج.

القيمة P(124) = 70 تعني أن إنفاق JD12400 على الإعلانات يحقق إيراداً قيمته JD70000 من بيع المنتج.