أتدرب وأحل المسائل

قوانين اللوغاريتمات

إذا كان: log_a 6 ≈ 0.778 ، وكان: log_a 5 ≈ 0.699 ، فأجد كلاً ممّا يأتي:

(1) log_a $\frac{5}{6}$

log_a $\frac{5}{6}$ = log_a 5 – log_a 6

             ≈ 0.699 – 0.778 ≈ -0.079

(2) log_a 30

log_a 30 = log_a (5 x 6)

             = log_a 5 + log_a 6

             ≈ 0.699 + 0.778 ≈ 1.477

(3) = $\frac{{\log }_a 5}{{\log }_a 6}$

$\frac{lo{g}_a 5}{lo{g}_a 6}$ = $\frac{0.699}{0.778}$ = $\frac{699}{778}$ ≈ 0.90

(4) log_a $\frac{1}{6}$

log_a $\frac{1}{6}$ = log_a 1 – log_a 6

             ≈ 0 - 0.778 ≈ -0.778

(5) log_a 900

log_a  900 = log_a 30²

                = 2 log_a 30

                = 2 log_a (5 x 6)

                = 2 (log_a 5 + log_a 6)

                ≈ 2 (0.699 + 0.778)

                ≈ 2 x 1.477 ≈ 2.954

(6) log_a $\frac{18}{15}$

log_a $\frac{18}{15}$ = log_a $\frac{6}{5}$

              = log_a 6 – log_a 5

              ≈ 0.778 - 0.699 ≈ 0.079

(7) log_a (6 a²)

log_a (6 a²) = log_a 6 + log_a a²

                  = log_a 6 + 2 log_a a

                  ≈ 0.778 + 2 ≈ 2.778

(8) log_a $\sqrt[4]{25}$

log_a $\sqrt[4]{25}$ = log_a $\sqrt[4]{5^2}$

                = log_a $5^{\frac{2}{4}}$

                = log_a $5^{\frac{1}{2}}$

                = $\frac{1}{2}$ log_a 5

                ≈ $\frac{1}{2}$ x 0.699 ≈ 0.350

(9) (log_a 5)(log_a 6)

(log_a 5)(log_a 6) ≈ 0.699 x 0.778 ≈ 0.544

أكتب كل مقدار لوغاريتمي ممّا يأتي بالصورة المطولة، علماً بأنّ المُتغيرات جميعها تُمثّل أعداداً حقيقية موجبة:

(10) log_a x²

log_a x² = 2 log_a x

(11) log_a ($\frac{a}{bc}$)

log_a ($\frac{a}{bc}$) = log_a a – log_a bc

                 = log_a a – (log_a b + log_a c)

                 = log_a a – log_a b - log_a c

                 = 1 – log_a b - log_a c

(12) = log_a ($\sqrt{x}$$\sqrt{y}$)

log_a ($\sqrt{x}$$\sqrt{y}$) = log_a $\sqrt{x}$ + log_a $\sqrt{y}$

                       = log_a $x^{\frac{1}{2}}$ + log_a $y^{\frac{1}{2}}$

                       = $\frac{1}{2}$ log_a x + $\frac{1}{2}$ log_a y

(13) log_a ($\frac{\sqrt{z}}{y}$)

log_a ($\frac{\sqrt{z}}{y}$) = log_a $\sqrt{z}$ - log_a y

                   = log_a $z^{\frac{1}{2}}$  - log_a y

                   = $\frac{1}{2}$ log_a z – log_a y

(14) log_a $\frac{1}{x^2{y}^2}$

log_a $\frac{1}{x^2{y}^2}$ = log_a 1 – log_a x²y²

                  = log_a 1 – (log_a x² + log_a y²)

                  = 0 – (2 log_a x + 2 log_a y)

                  = -2 log_a x – 2 log_a y

(15) log_a $\sqrt[5]{32x^5}$

log_a $\sqrt[5]{32x^5}$ = log_a ( $\sqrt[5]{32}$ x $\sqrt[5]{x^5}$ )

                    = log_a 2x

                    = log_a 2 + log_a x

(16) log_a $\frac{{\left(x^2{y}^3\right)}^2}{{\left(x^2{y}^3\right)}^3}$

log_a $\frac{{\left(x^2{y}^3\right)}^2}{{\left(x^2{y}^3\right)}^3}$ = log_a $\frac{1}{x^2{y}^3}$

                     = log_a 1 - log_a x²y³

                     = log_a 1 – (log_a x² + log_a y³)

                     = 0 – (2 log_a x + 3 log_a y)

                     = – 2 log_a x - 3 log_a y)

(17) log_a (x + y – z)⁷  , x + y > z

log_a (x + y – z)⁷ = 7 log_a (x + y – z)

(18) log_a $\sqrt{\frac{x^{12}y}{y^3{z}^4}}$

log_a $\sqrt{\frac{x^{12}y}{y^3{z}^4}}$ = log_a $\sqrt{\frac{x^{12}}{y^2{z}^4}}$

                      = log_a = $\frac{\sqrt{x^{12}}}{\sqrt{y^2}\sqrt{z^4}}$

                      = log_a $\frac{x^{{\displaystyle \frac{12}{2}}}}{ y^{{\displaystyle \frac{2}{2}}}{z}^{{\displaystyle \frac{4}{2}}}}$

                      = log_a $\frac{x^6}{y{z}^2}$

                      = log_a x⁶ – log_a yz²

                      = 6 log_a x – (log_a y + log_a z²)

                      = 6 log_a x – (log_a y + 2 log_a z)

                      = 6 log_a x – log_a y – 2 log_a z

أكتب كل مقدار لوغاريتمي ممّا يأتي بالصورة المختصرة، علماً بأنّ المُتغيرات جميعها تُمثّل أعداداً حقيقية موجبة:

(19) log_a x + log_a y

log_a x + log_a y = log_a xy

(20) log_b (x + y) – log_b (x – y) , x > y

log_b (x + y) – log_b (x - y)  = log_b $\frac{x + y}{x - y}$

(21) log_a $\frac{1}{\sqrt{x}}$ – log_{a $\sqrt{x}$}

log_a $\frac{1}{\sqrt{x}}$ – log_a $\sqrt{x}$ = log_a $\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}}{\sqrt{x}}$ 

                                  = log_{a $\frac{1}{x}$}

(22) log_a (x² – 4) – log_a (x + 2) , x > 2

log_a (x² – 4) – log_a (x + 2) = log_a $\frac{(x^2 - 4)}{(x + 2)}$

                                           = log_a $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2)}$

                                           = log_a (x – 2)

(23) 2 log_b x – 3 log_b y + $\frac{1}{3}$ log_b z

= log_b x² – log_b y³ + log_b $z^{\frac{1}{3}}$

= log_b $\frac{x^2}{y^3}$ + log_b $z^{\frac{1}{3}}$

= log_{b $\frac{x^2 z^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}{y^3}$}

= log_b $\frac{x^2 \sqrt[3]{z}}{y^3}$

(24) log_b 1 + 2 log_b b

log_b 1 + 2 log_b b = log_b b² = 2

(25) نمو: يمثل الاقتران: f(x) = 29 + 48.8 log₆ (x + 2) النسبة المئوية لطول الطفل الذكر الآن من طوله عند البلوغ، حيث x عمره بالسنوات. أجد النسبة المئوية لطول طفل عمره 10 سنوات من طوله عند البلوغ، علماً بأنّ log₆ 2 ≈ 0.3869 .

f(x) = 29 + 48.8 log₆ (x + 2)

f(10) = 29 + 48.8 log₆ (10 + 2)

         = 29 + 48.8 log₆ 12

         = 29 + 48.8 log₆ (6 x 2)

         = 29 + 48.8 (log₆ 6 + log6 2)

         ≈ 29 + 48.8 (1 + 0.3869)

         ≈ 29 + 48.8 (1.3869)

         ≈ 29 + 67.68072

         ≈ 97

النسبة المئوية لطول طفل عمره 10 سنوات من طوله عند البلوغ هي 97% تقريباً.