إجابات كتاب التمارين

المعادلات الأسية

أستعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كلّ ممّا يأتي، مقرباً إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

(1) log 7

$log 17\approx 1.2$

(2) log (1.5 x 10^-4)

$log(1.5\times {10}^{-4})\approx -3.8$

(3) ln 2.3

$ln 2.3\approx 0.8$

(4) log₂ 15

$lo{g}_2 15=\frac{log15}{log2}\approx 3.9$

(5) log₅ e⁷

$lo{g}_5 e^7=7\times \frac{ln e}{ln 5}\approx 4.3$

(6) ln 7

$ln 7\approx 1.95$

أجد قيمة كلّ ممّا يأتي، مقرباً إجابتي إلى أقرب جزء من مئة (إن لزم):

(7) log₅ 27

$lo{g}_5 27=\frac{log 27}{log 5}\approx 2.05$

(8) ${\log }_{\frac{1}{4}} 19$

$lo{g}_{\frac{1}{4}} 19=\frac{log 19}{log \frac{1}{4}}=\frac{log 19}{-log 4}\approx -2.12$

(9) log₇ 8

${\log }_7 8=\frac{\log 8}{\log 7}\approx 1.07$

(10) ${\log }_8 \frac{1}{8}$

${\log }_8 \frac{1}{8}=-1$

(11) log 10000

$\log 10000=4$

(12) log₃ 18

${\log }_3 18=\frac{\log 18}{\log 3}\approx 2.63$

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقرباً إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

(13) 5x = 20

$x=lo{g}_5 120=\frac{log 120}{log 5}\approx 2.9746$

(14) $-4e^{4x}=-64$

$\begin{array}{rl}& e^{4x}=16\\ & 4x=\ln 16\\ & x=\frac{1}{4}\ln 16\approx 0.9631\end{array}$

(15) $3^{2x+1}=7^{5x}$

$\begin{array}{rl}& log{3}^{2x+1}=log{7}^{5x}\\ & (2x+1)log3=\left(5x\right)log7\\ & 2xlog3+log3=5xlog7\\ & 2xlog3-5xlog7=log3\\ & x(2log3-5log7)=log3\\ & x=\frac{log3}{2log3-5log7}\approx -0.1459\end{array}$

(16) ${64}^x+2\left(8^x\right)-3=0$

$\begin{array}{rl}& {\left(8^x\right)}^2+2(8{)}^x-3=0\\ & u^2+2u-3=0\\ & (u+3)(u-1)=0\\ & u=-3\text{or}u=1\\ & 8^x=-3\text{or}{8}^x=1\end{array}$

المعادلة 8x = -3 ليس لها حل؛ لأن 8x > 0 لجميع قيم x .

$8^x=1\to x=lo{g}_8 1=0$

(17) $7(4{)}^x=49$

$x={\log }_4 7=\frac{\log 7}{\log 4}\approx 1.4037$

(18) ${21}^{x-1}=3^{7x+1}$

$\begin{array}{rl}& log{21}^{x-1}=log{3}^{7x+1}\\ & (x-1)log21=(7x+1)log3\\ & xlog21-log21=7xlog3+log3\\ & xlog21-7xlog3=log21+log3\\ & x(log21-7log3)=log21+log3\\ & x=\frac{log21+log3}{log21-7log3}\approx -0.8918\end{array}$