مهارات التفكير العليا

المشتقة الثانية والسرعة المتجهة والتسارع

(26) تبرير: إذا كان: $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{{(5-3x^2)}^6}$ ، فأثبت أن $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{5+33x^2}{{(5-3x^2)}^7}$ .

$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}& =\frac{{(5-3x^2)}^6\left(1\right)-\left(x\right)\left(6\right){(5-3x^2)}^5(-6x)}{{(5-3x^2)}^{12}}\\ & =\frac{{(5-3x^2)}^5(5-3x^2+36x^2)}{{(5-3x^2)}^{12}}\\ & =\frac{5+33x^2}{{(5-3x^2)}^7}\end{array}$

(27) تحدّ: إذا مثل الاقتران: $s\left(t\right)=t^3-12t-9 , t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثاني، فما سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفراً؟

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=3t^2-12\\ & a\left(t\right)=6t\\ & a\left(t\right)=0\to 6t=0\to t=0\\ & v\left(0\right)=3(0{)}^2-12=-12\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(28) تحدّ: إذا مثل الاقتران: $s\left(t\right)=2t^3-24t-10 , t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثاني، فما تسارع الجسم عندما يكون سرعته صفراً؟

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=6t^2-24\\ & a\left(t\right)=12t\\ & v\left(t\right)=0\to 6t^2-24=0\to t^2=4\to t=2\\ & a\left(2\right)=12\left(2\right)=24\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$