مهارات التفكير العليا

التكامل غير المحدود

(20) أكتشف الخطأ: أوجدت رنيم ناتج التكامل: $\int (2x+1)(x-1) dx$، وكان حلها على النحو الآتي:

أكتشف الخطأ في حل رنيم، ثم أصححه.

$\begin{array}{rl}& \int f\left(x\right)\times g\left(x\right) dx\ne \int f\left(x\right) dx\times \int g\left(x\right) dx\\ & \int (2x+1)(x-1) dx=\int (2x^2-2x+x-1) dx\\ & =\int (2x^2-x-1) dx\\ & =\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-x+C\end{array}$

تحدّ: أجد كل تكامل ممّا يأتي:

(21) $\int {\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)}^2 dx$

$\begin{array}{rl}\int {\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)}^{2}dx& =\int {(\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2})}^{2}dx\\ & =\int {(1+x^{-2})}^{2 }dx\\ & =\int (1+2x^{-2}+x^{-4}) dx\\ & =x-2x^{-1}-\frac{1}{3}{x}^{-3}+C=x-\frac{2}{x}-\frac{1}{3x^3}+C\end{array}$

(22) $\int (x-1)(x-3)(x+5) dx$

$\begin{array}{rl}\int (x-1)(x-3)(x+5) dx& =\int (x^2-3x-x+3)(x+5) dx\\ & =\int (x^2-4x+3)(x+5) dx\\ & =\int (x^3+5x^2-4x^2-20x+3x+15) dx\\ & =\int (x^3+x^2-17x+15) dx\\ & =\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{17}{2}{x}^2+15x+C\end{array}$

(23) تبرير: إذا كان: $\int (\frac{P}{2x^2}+Q) dx=\frac{2}{x}+10x+C$ ، فأجد قيمة كلّ من الثابت P ، والثابت Q ، مبرراً إجابتي.  

$\begin{array}{rl}& \int (\frac{P}{2x^2}+Q) dx=\frac{2}{x}+10x+C\\ & \begin{array}{rl}\int (\frac{P}{2x^2}+Q) dx& =\int (\frac{P}{2}{x}^{-2}+Q) dx\\ & =-\frac{P}{2}{x}^{-1}+Qx+C\\ & =-\frac{P}{2x}+Qx+C\\ \Rightarrow -\frac{P}{2}=2, Q& =10\\ \Rightarrow P=-4gQ& =10\end{array}\end{array}$