مهارات التفكير العليا

الشرط الأولي

(16) تبرير: تعطى مشتقة الاقتران f(x) بالقاعدة: $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=ax+b$ ، حيث a و b ثابتان. إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) عند النقطة (-2, 8) هو  7 ، وقطع منحنى الاقتران المحور y عند النقطة (0, 18) فأجد قاعدة هذا الاقتران، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =ax+b\\ f\left(x\right)& =\int (ax+b)dx\\ & =\frac{a}{2}{x}^2+bx+C\end{array}$

ميل المماس لمنحنى الاقتران f عند النقطة (-2, 8) هو 7 معناه: f ’(-2) = 7  وكذلك f (-2) = 8

منحنى الاقتران يقطع المحور y عند النقطة (0, 18) معناه: f (0) = 18

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}(-2)=7& \Rightarrow a(-2)+b=7\\ & \Rightarrow -2a+b=7\dots \dots \dots \dots \\ f(-2)=8& \Rightarrow \frac{a}{2}(-2{)}^2+b(-2)+C=8\\ & \Rightarrow 2a-2b+C=8\dots \dots \dots \dots \\ f\left(0\right)=18& \Rightarrow \frac{a}{2}(0{)}^2+b(0)+C=18\\ & \Rightarrow C=18\end{array}$

نعوّض قيمة C في المعادلة (2) فنحصل على:

2a – 2b + 18 = 8  ⇒   2a – 2b = -10

 ⇒  a – b = -5 ………………………….. (4)

نجمع طرفي المعادلتين (1) و (4) فنحصل على:

-a = 2  ⇒   a = -2

نعوّض قيمة a في المعادلة (4) فنحصل على: b = 3

قاعدة الاقتران هي:

f(x) = -x² + 3x + 18

(16) تحدّ: إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران f(x) هو: $(4-\frac{100}{x^2})$ ، وكان للاقتران نقطة حرجة عند النقطة (a, 10)، حيث: a > 0 ، فأجد قاعدة هذا الاقتران.

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =4-\frac{100}{x^2}\\ f\left(x\right)& =\int (4-\frac{100}{x^2})dx\\ & =\int (4-100x^{-2})dx\\ & =4x+100x^{-1}+C\\ & =4x+\frac{100}{x}+C\end{array}$ 

للاقتران f نقطة حرجة عند (a, 10) إذن: f ’(a) = 0 وكذلك f(a) = 10

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=0& \Rightarrow 4-\frac{100}{a^2}=0\\ & \Rightarrow 4=\frac{100}{a^2}\\ & \Rightarrow 4a^2=100\\ & \Rightarrow a^2=25\\ & \Rightarrow a=\pm 5\end{array}$

لكن a > 0 إذن: a = 5 ، ومنه f(5) = 10

$\begin{array}{rl}& 10=4\left(5\right)+\frac{100}{5}+C\\ & \Rightarrow C=-30\end{array}$

وتكون قاعدة الاقتران:

$f\left(x\right)=4x+\frac{100}{x}-30$