إجابات كتاب التمارين

المساحة

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^1(x-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-x)dx\\ & ={(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3)|}_0^1+{(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2)|}_1^2\\ & =(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})=1\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_4^9\frac{1}{\sqrt{x}}dx\\ & ={\int }_4^9{x}^{-\frac{1}{2}}dx\\ & ={2x^{\frac{1}{2}}|}_4^9=6-4=2\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-1}^4(4+3x-x^2)dx\\ & ={(4x+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3)|}_{-1}^4\\ & =(16+24-\frac{64}{3})-(-4+\frac{3}{2}+\frac{1}{3})=\frac{125}{6}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& =-{\int }_{-1}^0(3x^2+x-2)dx\\ & =-{(x^3+\frac{1}{2}{x}^2-2x)|}_{-1}^0\\ & =-\left(\right(0)-(-1+\frac{1}{2}+2))=\frac{3}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-1}^1(1-x^2)dx\\ & ={(x-\frac{1}{3}{x}^3)|}_{-1}^1\\ & =(1-\frac{1}{3})-(-1+\frac{1}{3})=\frac{4}{3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx\\ & ={(1-x^2)|}_0^1+{(x^2-1)|}_1^2=2\end{array}$

(7) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=3x^2-3$، والمحور $x$.

$\begin{array}{rl}& 3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\\ & \begin{array}{rl}A& ={\int }_{-1}^1(3-3x^2)dx\\ & ={(3x-x^3)|}_{-1}^1\\ & =(3-1)-(-3+1)=4\end{array}\end{array}$

(8) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين متحتى الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-5x^2-6x$، والمحور $x$.

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& x^3-5x^2-6x=0\Rightarrow x(x^2-5x-6)=0\\ & \Rightarrow x(x-6)(x+1)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=6,x=-1\\ & A={\int }_{-1}^0(x^3-5x^2-6x)dx+{\int }_0^6(-x^3+5x^2+6x)dx\\ & ={(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{5}{3}{x}^3-3x^2)|}_{-1}^0+{(-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3+3x^2)|}_0^6\\ & =\left(0\right)-(\frac{1}{4}+\frac{5}{3}-3)+(-324+360+108)-\left(0\right)=\frac{1741}{12}\end{array}\end{array}$

(9) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2(2-x)$، والمحور $x$.

$\begin{array}{rl}{x}^2& (2-x)=0\Rightarrow x=0,x=2\\ A& ={\int }_0^2{x}^2(2-x)dx\\ & ={\int }_0^2(2x^2-x^3)dx\\ & ={(\frac{2}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4)|}_0^2\\ & =(\frac{16}{3}-4)-\left(0\right)=\frac{4}{3}\end{array}$