أتدرب وأحل المسائل

تكامل اقترانات خاصة

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int (\frac{1}{2}{e}^x+3x)dx$ (1)

$\int (\frac{1}{2}{e}^x+3x)dx=\frac{1}{2}{e}^x+\frac{3}{2}{x}^2+C$

$\int \left(\frac{x^2+2x+1}{x^2}\right)dx$ (2)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2+2x+1}{x^2}dx& =\int (\frac{x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2})dx\\ & =\int (1+\frac{2}{x}+x^{-2})dx=x+2\ln \left|x\right|-x^{-1}+C\end{array}$

$\int {(e^x+1)}^{2}dx$ (3)

$\begin{array}{rl}\int {(e^x+1)}^{2}dx& =\int (e^{2x}+2e^x+1)dx\\ & =\frac{1}{2}{e}^{2x}+2e^x+x+C\end{array}$

$\int \frac{1}{x}(x+2)dx$ (4)

$\begin{array}{rl}\int (\frac{4}{x^3}+\frac{5}{x})dx& =\int (4x^{-3}+\frac{5}{x})dx\\ & =-2x^{-2}+5\ln \left|x\right|+C\end{array}$

$\int (\frac{4}{x^3}+\frac{5}{x})dx$ (5)

$\begin{array}{rl}\int (\frac{4}{x^3}+\frac{5}{x})dx& =\int (4x^{-3}+\frac{5}{x})dx\\ & =-2x^{-2}+5\ln \left|x\right|+C\end{array}$

$\int (\sqrt{x}+3e^{6x}-\frac{7}{x})dx$ (6)

$\begin{array}{rl}\int (\sqrt{x}+3e^{6x}-\frac{7}{x})dx& =\int (x^{\frac{1}{2}}+3e^{6x}-\frac{7}{x})dx\\ & =\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}{e}^{6x}-7\ln \left|x\right|+C\end{array}$

$\int (\frac{3}{x+1}-5e^{-2x})dx$ (7)

$\int (\frac{3}{x+1}-5e^{-2x})dx=3\ln |x+1|+\frac{5}{2}{e}^{-2x}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{2x-3}}dx$ (8)

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{\sqrt{2x-3}}dx& =\int (2x-3{)}^{-\frac{1}{2}}dx\\ & =(2x-3{)}^{\frac{1}{2}}+C\end{array}$

$\int (\sin (2x-3)+e^{6x-4})dx$ (9)

$\int (\sin (2x-3)+e^{6x-4})dx=-\frac{1}{2}\cos (2x-3)+\frac{1}{6}{e}^{6x-4}+C$

$\int 4\cos (6x+1)dx$ (10)

$\int 4\cos (6x+1)dx=\frac{2}{3}\sin (6x+1)+C$

$\int \frac{\sin x+3\cos x}{4}dx$ (11)

$\begin{array}{rl}\int \frac{\sin x+3\cos x}{4}dx& =\int (\frac{\sin x}{4}+\frac{3\cos x}{4})dx\\ & =\int (\frac{1}{4}\sin x+\frac{3}{4}\cos x)dx\\ & =-\frac{1}{4}\cos x+\frac{3}{4}\sin x+C\end{array}$

 $\int (e^{6x}+(1-2x{)}^6)dx$ (12)

$\int (e^{6x-4}+(1-2x{)}^6)dx=\frac{1}{6}{e}^{6x-4}-\frac{1}{14}(1-2x{)}^7+C$

$\int \frac{x}{x^2+1}dx$ (13)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{x^2+1}dx& =\int \frac{\frac{1}{2}\left(2x\right)}{x^2+1}dx\\ & =\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx\\ & =\frac{1}{2}\ln |x^2+1|+C\end{array}$

$\int \frac{x^2}{x^3-3}dx$ (14)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2}{x^3-3}dx& =\int \frac{\frac{1}{3}\left(3x^2\right)}{x^3-3}dx\\ & =\frac{1}{3}\int \frac{3x^2}{x^3-3}dx\\ & =\frac{1}{3}\ln |x^3-3|+C\end{array}$

$\int \frac{x^2-x}{2x^3-3x^2+12}dx$ (15)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2-x}{2x^3-3x^2+12}dx& =\int \frac{\frac{1}{6}(6x^2-6x)}{2x^3-3x^2+12}dx\\ & =\frac{1}{6}\int \frac{6x^2-6x}{2x^3-3x^2+12}dx\\ & =\frac{1}{6}\ln |2x^3-3x^2+12|+C\end{array}$

 $\int \frac{e^x+7}{e^x}dx$ (16)

$\begin{array}{rl}\int \frac{e^x+7}{e^x}dx& =\int (\frac{e^x}{e^x}+\frac{7}{e^x})dx\\ & =\int (1+7e^{-x})dx\\ & =x-7e^{-x}+C\end{array}$

$\int \frac{1}{5-\frac{1}{4}x}dx$ (17)

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{5-\frac{1}{4}x}dx& =\int \frac{-4(-\frac{1}{4})}{5-\frac{1}{4}x}dx\\ & =-4\ln |5-\frac{1}{4}x|+C\end{array}$

$\int (4x^3+2+3\sin (5-3x\left)\right)dx$ (18)

$\int (4x^3+2+3\sin (5-3x\left)\right)dx=x^4+2x+\cos (5-3x)+C$

$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3}dx$ (19)

$\begin{array}{rl}\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+3}dx& =\int \frac{\frac{1}{2}\left(2e^{2x}\right)}{e^{2x}+3}dx\\ & =\frac{1}{2}\ln |e^{2x}+3|+C\end{array}$

 $\int \frac{3}{(1-4x{)}^2}dx$ (20)

$\begin{array}{rl}\int \frac{3}{(1-4x{)}^2}dx& =\int 3(1-4x{)}^{-2}dx\\ & =\frac{3}{4}(1-4x{)}^{-1}+C\\ & =\frac{3}{4(1-4x)}+C\end{array}$

$\int \frac{1+x{e}^x}{x}dx$ (21)

$\begin{array}{rl}\int \frac{1+x{e}^x}{x}dx& =\int (\frac{1}{x}+\frac{x{e}^x}{x})dx\\ & =\int (\frac{1}{x}+e^x)dx\\ & =\ln \left|x\right|+e^x+C\end{array}$

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

${\int }_1^2(2x+3e^x-\frac{4}{x})dx$ (22)

$\begin{array}{rl}{\int }_1^2(2x+3e^x-\frac{4}{x})& dx={(x^2+3e^x-4\ln |x\left|\right)|}_1^2\\ & =\left(\right(2{)}^2+3e^2-4\ln \left|2\right|)-\left(\right(1{)}^2+3e^1-4\ln \left|1\right|)\\ & =3+3e^2-4\ln 2-3e\end{array}$

${\int }_0^5\frac{x}{x^2+10}dx$ (23)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^5\frac{x}{x^2+10}dx& ={\int }_0^5\frac{\frac{1}{2}\left(2x\right)}{x^2+10}dx\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^5\frac{2x}{x^2+10}dx\\ & ={\frac{1}{2}\ln |x^2+10||}_1^2\\ & =\frac{1}{2}\ln \left|\right(2{)}^2+10|-\frac{1}{2}\ln \left|\right(1{)}^2+10|\\ & =\frac{1}{2}\ln 14-\frac{1}{2}\ln 11\end{array}$

${\int }_3^4(2x-6{)}^{4}dx$ (24)

$\begin{array}{rl}{\int }_3^4(2x-6{)}^{4}dx& ={\frac{1}{10}(2x-6{)}^5|}_3^4\\ & =\frac{1}{10}\left(2\right(4)-6{)}^5-\frac{1}{10}(2\left(3\right)-6{)}^5\\ & =\frac{32}{10}\end{array}$

(25) يتحرك جسيم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v\left(t\right)=e^{-2t}$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$v$ سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية. إذا كان الموقع الابتدائي للجسيم $2 m$، فأجد موقع الجسيم بعد 4 ثانية من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& =e^{-2t}\\ s\left(t\right)& =\int e^{-2t}dt\\ & =-\frac{1}{2}{e}^{-2t}+C\\ s\left(t\right)& =-\frac{1}{2}{e}^{-2t}+C\end{array}$

بما أن الموقع الابتدائي للجسيم $2 m$ إذن $s\left(0\right)=2$:

$\begin{array}{rl}& s\left(0\right)=-\frac{1}{2}{e}^0+C\\ & 2=-\frac{1}{2}{e}^0+C\\ & 2=-\frac{1}{2}+C\\ & C=\frac{5}{2}\\ & \Rightarrow s\left(t\right)=-\frac{1}{2}{e}^{-2t}+\frac{5}{2}\end{array}$ 

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$، ونقطة يمر بها منحنى $\mathit{y}\mathbf{=}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$ أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=5e^x;(0,\frac{1}{2})$ (26)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int 5e^{x}dx\\ & =5e^x+C\end{array}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(0,\frac{1}{2})$:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=5e^x+C& \Rightarrow f\left(0\right)=5e^0+C\\ & \Rightarrow \frac{1}{2}=5+C\\ & \Rightarrow C=-\frac{9}{2}\\ f\left(x\right)=5e^x-\frac{9}{2}& \end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2};(1,-1)$ (27)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2})dx\\ & =\int (\frac{2}{x}-x^{-2})dx\\ & =2\ln \left|x\right|+x^{-1}+C\\ & =2\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C\end{array}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(1,-1)$:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=2\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C\Rightarrow f\left(1\right)=2\ln 1+1+C\\ & \Rightarrow -1=1+C\\ & \Rightarrow C=-2\\ & f\left(x\right)=2\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}-2\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e^{-x}+x^2;(0,4)$ (28)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (e^{-x}+x^2)dx\\ & =-e^{-x}+\frac{1}{3}{x}^3+C\end{array}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(0,4)$:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=-e^{-x}+\frac{1}{3}{x}^3+C\Rightarrow f\left(0\right)=-e^0+\frac{1}{3}(0{)}^3+C\\ & \Rightarrow 4=-1+C\\ & \Rightarrow C=5\\ & f\left(x\right)=-e^{-x}+\frac{1}{3}{x}^3+5\end{array}$

(29) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة $y$ هو: $\frac{dy}{dx}=2x+\frac{3}{x+e}$، فأجد قاعدة العلاقة $y$، علماً بأن منحناها يمرّ بالنقطة $(e,e^2)$.

$\begin{array}{rl}y& =\int (2x+\frac{3}{x+e})dx\\ & =x^2+3\ln |x+e|+C\end{array}$

لإثبات ثابت التكامل، نعوض النقطة $(e,e^2)$:

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^2+3\ln |x+e|+C\Rightarrow f\left(e\right)=e^2+3\ln |e+e|+C\\ & \Rightarrow e^2=e^2+3\ln 2e+C\\ & \Rightarrow C=-3\ln 2e\\ & f\left(x\right)=x^2+3\ln |x+e|-3\ln 2e\end{array}$

بيئة: في دراسة تناولت أسماكاً في بحيرة، تبين أن عدد الأسماك $\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}$ يتغير بمعدل: ${\mathit{P}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{51}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{03}\mathbf{t}}$، حيث $\mathit{t}$ الزمن بالسنوات بعد بدء الدراسة:

(30) أجد قاعدة الاقتران $P\left(t\right)$ عند أي زمن $t$، علماً بأن عدد الأسماك عند بدء الدراسة هو 1000 سمكة.

$\begin{array}{rl}P\left(t\right)& =\int 0.51e^{-0.03t}dt\\ & =-\frac{0.51}{0.03}{e}^{-0.03t}+C\\ & =-17e^{-0.03t}+C\end{array}$

بما أن عدد الأسماك عند بدء الدراسة هو 1000 سمكة، إذن $P\left(0\right)=1000$ ومنه:

$\begin{array}{rl}& P\left(0\right)=-17e^{-0.03\left(0\right)}+C\\ & 1000=-17+C\\ & C=1017\\ & P\left(t\right)=-17e^{-0.03t}+1017\end{array}$

(31) أجد عدد الأسماك بعد 10 سنوات من بدء الدراسة.

$P\left(10\right)=-17e^{-0.03\left(10\right)}+1017\approx 1004$

عدد الأسماك بعد 10 سنوات من بدء الدراسة هو 1004 سمكة تقريباً.

طب: يلتئم جرح جلدي بمعدل يمكن نمذجته بالاقتران: ${\mathit{A}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{9}{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{1}\mathbf{t}}$، حيث $\mathit{t}$ عدد الأيام بعد الإصابة بالجرح، و$\mathit{A}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}$ مساحة سطح الجرح بالسنتيمتر المربع:

(32) أجد قاعدة الاقتران $A\left(t\right)$، عند أي زمن $t$، علماً بأن مساحة سطح الجرح عند الإصابة هي $9 {\mathrm{cm}}^2$.

$\begin{array}{rl}A\left(t\right)& =\int -0.9e^{-0.1t}dt\\ & =\frac{0.9}{0.1}{e}^{-0.1t}+C\\ & =9e^{-0.1t}+C\end{array}$

بما أن مساحة سطح الجرح عند الإصابة هي $9{ \mathrm{cm}}^2$، إذن $A\left(0\right)=9$ ومنه:

$\begin{array}{rl}& A\left(0\right)=9e^{-0.1\left(0\right)}+C\\ & 9=9+C\\ & C=0\\ & A\left(t\right)=9e^{-0.1t}\end{array}$

(33) أجد مساحة سطح الجرح بعد 5 أيام من الإصابة.

$A\left(5\right)=9e^{-0.1\left(5\right)}\approx 5.5{\mathrm{cm}}^2$

مساحة سطح الجرح بعد 5 أيام من الإصابة هي $5.5{ cm}^2$ تقريباً.