اختبار نهاية الوحدة

التكامل

أختار رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي:

(1) قيمة $\int \frac{x^3-1}{x^2}$ هي:

$\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+C$ (a

$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{x}+C$ (b

${\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{x}}\mathbf{+}\mathit{C}$ (c

$x^2+\frac{1}{x}+C$ (d

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^3-1}{x^2}dx& =\int (\frac{x^3}{x^2}-\frac{1}{x^2})dx\\ & =\int (x-x^{-2})dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+x^{-1}+C\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{x}+C\dots \dots \left(b\right)\end{array}$

(2) إذا كان: ${\int }_0^{2}kxdx=6$ فإن قيمة الثابت k:

1 (a

2 (b

3 (c

4 (d

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{2}kxdx=6& {\Rightarrow \frac{k}{2}{x}^2|}_0^2=6\\ & \Rightarrow \frac{k}{2}(2{)}^2-\frac{k}{2}(0{)}^2=6\\ & \Rightarrow 2k=6\\ & \Rightarrow k=3\dots \dots \dots \dots \dots \dots \left(c\right)\end{array}$

(3) قيمة: ${\int }_0^3(-x^2+3x)dx$ هي:

$3\frac{3}{4}$ (a

$21\frac{1}{4}$ (b

$\mathbf{4}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ (c

$22\frac{1}{2}$ (d

$\begin{array}{rl}{\int }_0^3(-x^2+3x)dx& ={(-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2)|}_0^3\\ & =(-\frac{1}{3}(3{)}^3+\frac{3}{2}\left(3{)}^2\right)-(-\frac{1}{3}(0{)}^3+\frac{3}{2}\left(0{)}^2\right)\\ & =\frac{9}{2}\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \left(c\right)\end{array}$

(4) قيمة: ${\int }_0^2{e}^{2x}$ هي:

$e^4-1$ (a

$e^4-2$ (b

$2e^4-2$ (c

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathit{e}}^{\mathbf{4}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ (d

$\begin{array}{rl}{\int }_0^2{e}^{2x}dx& ={\frac{1}{2}{e}^{2x}|}_0^2\\ & =\frac{1}{2}{e}^{2\left(2\right)}-\frac{1}{2}{e}^{2\left(0\right)}\\ & =\frac{1}{2}{e}^4-\frac{1}{2}\dots \dots \dots \dots \dots \dots \left(d\right)\end{array}$

(5) قيمة: ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}$ هي:

2- (a

$-\frac{7}{16}$ (b

$\frac{1}{2}$ (c

2 (d

$\begin{array}{rl}{\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{x}}dx& ={\int }_1^4{x}^{-\frac{1}{2}}dx\\ & ={2x^{\frac{1}{2}}|}_1^4\\ & ={2\sqrt{x}|}_1^4\\ & =2\sqrt{4}-2\sqrt{1}\\ & =2\dots \dots \dots \dots \dots \left(d\right)\end{array}$

(6) التكامل المحدود الذي يمكن عن طريقه إيجاد المساحة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=4x-x^2$ والمحور x هو:

${\int }_4^0(4x-x^2)dx$ (a

${\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{4}}\mathbf{(}\mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{-}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathit{d}\mathit{x}$ (b

${\int }_1^0(4x-x^2)dx$ (c

${\int }_0^1(4x-x^2)dx$ (d

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الآتية:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow 4x-x^2=0\\ & \Rightarrow x(4-x)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=4\end{array}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [0,4]، وليكن 1 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(1\right)=4\left(1\right)-(1{)}^2=3>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [0,4]

والتكامل المحدود الذي يمكن عن طريقه إيجاد المساحة المطلوبة هو ${\int }_0^4(4x-x^2)dx$

أجد كلاً من التكاملات الآتية:

$\int 3x^{-1/2}dx$ (7)

$\int 3x^{-\frac{1}{2}}dx=6x^{\frac{1}{2}}+C$

$\int (8x-10x^2)dx$ (8)

$\int (8x-10x^2)dx=4x^2-\frac{10}{3}{x}^3+C$

$\int \frac{5}{x^3}dx$ (9)

$\begin{array}{rl}\int \frac{5}{x^3}dx& =\int 5x^{-3}dx\\ & =-\frac{5}{2}{x}^{-2}+C\\ & =-\frac{5}{2x^2}+C\end{array}$

$\int \frac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}}dx$ (10)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2-1}{\sqrt[3]{x}}dx& =\int \frac{x^2-1}{x^{\frac{1}{3}}}dx\\ & =\int (\frac{x^2}{x^{\frac{1}{3}}}-\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})dx\\ & =\int (x^{\frac{5}{3}}-x^{-\frac{1}{3}})dx\\ & =\frac{3}{8}{x}^{\frac{8}{3}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C\\ & =\frac{3}{8}\sqrt[3]{x^8}+\frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2}+C\end{array}$

$\int (5x^2-2e^{7x})dx$ (11)

$\int (5x^2-2e^{7x})dx=\frac{5}{3}{x}^3-\frac{2}{7}{e}^{7x}+C$

$\int (2x+3e^{4x+5})dx$ (12)

$\int (2x+3e^{4x+5})dx=x^2+\frac{3}{4}{e}^{4x+5}+C$

$\int \frac{x^2-6}{2x}dx$ (13)

$\begin{array}{rl}\int \frac{x^2-6}{2x}dx& =\int (\frac{x^2}{2x}-\frac{6}{2x})dx\\ & =\int (\frac{1}{2}x-\frac{3}{x})dx\\ & =\frac{1}{4}{x}^2-3\ln \left|x\right|+C\end{array}$

$\int \frac{1}{(x-1{)}^3}dx$ (14)

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{(x-1{)}^3}dx& =\int (x-1{)}^{-3}dx\\ & =-\frac{1}{2}(x-1{)}^{-2}+C\\ & =-\frac{1}{2(x-1{)}^2}+C\end{array}$

$\int \frac{e^x}{e^x+4}dx$ (15)

$\int \frac{e^x}{e^x+4}dx=\ln |e^x+4|+C$

$\int 2x{e}^{x^2-1}dx$ (16)

$\begin{array}{rl}& \int 2x{e}^{x^2-1}dx\\ & u=x^2-1\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \int 2x{e}^{x^2-1}dx=\int 2x{e}^u\times \frac{du}{2x}\\ & =\int e^{u}du\\ & =e^u+C\\ & =e^{x^2-1}+C\end{array}$

$\int 4e^x(3+e^{2x})dx$ (17)

$\begin{array}{rl}\int 4e^x(3+e^{2x})dx& =\int (12e^x+4e^{3x})dx\\ & =12e^x+\frac{4}{3}{e}^{3x}+C\end{array}$

$\int \frac{1+x}{{(4+2x+x^2)}^8}dx$ (18)

$\begin{array}{rl}& \int \frac{1+x}{{(4+2x+x^2)}^8}dx\\ & u=4+2x+x^2\Rightarrow \frac{du}{dx}=2+2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{2+2x}\\ & \int \frac{1+x}{{(4+2x+x^2)}^8}dx=\int \frac{1+x}{u^8}\times \frac{du}{2+2x}\\ & =\int \frac{1+x}{u^8}\times \frac{du}{2(1+x)}\\ & =\int \frac{1}{2}{u}^{-8}du\\ & =-\frac{1}{14}{u}^{-7}+C\\ & =-\frac{1}{14}{(4+2x+x^2)}^{-7}+C\\ & =-\frac{1}{14{(4+2x+x^2)}^7}+C\end{array}$

$\int x\sin (3+x^2)dx$ (19)

$\begin{array}{rl}& \int x\sin (3+x^2)dx\\ & u=3+x^2\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \int x\sin (3+x^2)dx=\int x\sin u\times \frac{du}{2x}\\ & =\int \frac{1}{2}\sin udu\\ & =-\frac{1}{2}\cos u+C\\ & =-\frac{1}{2}\cos (3+x^2)+C\end{array}$

$\int (3\sin 3x-4\cos x)dx$ (20)

$\int (3\sin 3x-4\cos x)dx=-\cos 3x-4\sin x+C$

$\int (x-\sin (7x+2\left)\right)dx$ (21)

$\begin{array}{rl}\int (x-\sin (7x+2\left)\right)dx& ={\int }_{1}xdx-\int \sin (7x+2)dx\\ & =\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{7}\cos (7x+2)+C\end{array}$

$\int (e^{3x}-e^{-3x})dx$ (22)

$\int (e^{3x}-e^{-3x})dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+\frac{1}{3}{e}^{-3x}+C$

$\int \frac{2}{1-5x}dx$ (23)

$\begin{array}{rl}\int \frac{2}{1-5x}dx& =\int \frac{\frac{2}{-5}(-5)}{1-5x}dx\\ & =-\frac{2}{5}\int \frac{-5}{1-5x}dx\\ & =-\frac{2}{5}\ln |1-5x|+C\end{array}$

(24) إذا كان ميل المماس لمنحنى العلاقة y هو: $\frac{dy}{dx}=4x-2$ فأجد قاعدة العلاقة، علماً بان منحناها يمر بالنقطة (0,3).

$\begin{array}{rl}& y=\int (4x-2)dx\\ & =2x^2-2x+C\end{array}$

منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0,3) إذن:

$\begin{array}{rl}& 3=2(0{)}^2-2(0)+C\\ & C=3\\ & y=2x^2-2x+3\end{array}$

(25) الإيراد الحدي: يمثل الاقتران: $R^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4x-1.2x^2$ الإيراد الحدي (بالدينار) لكل قطعة تباع في إحدى الشركات، حيث x عدد القطع المبيعة، و(R(x إيراد بيع x قطعة بالدينار. أجد اقتران الإيراد R(x)، علماً بأن R(20)=30000.

$\begin{array}{rl}R\left(x\right)& =\int (4x-1.2x^2)dx\\ & =2x^2-0.4x^3+C\end{array}$

بما أن R(20)=30000 إذن:

$\begin{array}{rl}& 30000=2(20{)}^2-0.4(20{)}^3+C\\ & C=54000\\ & R\left(x\right)=2x^2-0.4x^3+54000\end{array}$

(26) يتحرك جسيم من السكون، ويعطى تسارعه بالاقتران: $a\left(t\right)=\cos (3t-\pi )$، حيث t الزمن بالثواني، وa تسارعه بالمتر لكل ثانية تربيع. أجد سرعة الجسيم بعد t ثانية من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& =\int \cos (3t-\pi )dx\\ & =\frac{1}{3}\sin (3t-\pi )+C\end{array}$

 إذا كان ${\mathbf{\int }}_{\mathbf{-}\mathbf{5}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{,}{\mathbf{\int }}_{\mathbf{-}\mathbf{5}}^{\mathbf{5}}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{10}\mathbf{,}{\mathbf{\int }}_{\mathbf{-}\mathbf{5}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathit{g}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathit{d}\mathit{x}\mathbf{=}\mathbf{11}$، فأجد كلاً مما يأتي:

${\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx$ (27)

$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^{5}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-1}^{-5}f\left(x\right)dx+{\int }_{-5}^{5}f\left(x\right)dx\\ & =-4+10\\ & =6\end{array}$

${\int }_{-5}^{-1}7f\left(x\right)dx$ (28)

$\begin{array}{rl}{\int }_{-5}^{-1}7f\left(x\right)dx& =7{\int }_{-5}^{-1}f\left(x\right)dx\\ & =7\times 4\\ & =28\end{array}$

${\int }_{-1}^{-5}\left(3f\right(x)-g(x\left)\right)dx$ (29)

$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^{-5}\left(3f\right(x)-g(x\left)\right)dx& =3{\int }_{-1}^{-5}f\left(x\right)dx-{\int }_{-1}^{-5}g\left(x\right)dx\\ & =3(-4)-(-11)\\ & =-1\end{array}$

أجد قيمة كل من التكاملات الآتية:

${\int }_{-2}^3(3x^2-4x+1)dx$ (30)

$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^3(3x^2-4x+1)dx& ={(x^3-2x^2+x)|}_{-2}^3\\ & =\left(\right(3{)}^3-2(3{)}^2+3)-\left(\right(-2{)}^3-2(-2{)}^2-2)\\ & =30\end{array}$

${\int }_1^3\frac{x^3+2x^2}{x}dx$ (31)

$\begin{array}{rl}{\int }_1^3\frac{x^3+2x^2}{x}dx& ={\int }_1^3(\frac{x^3}{x}+\frac{2x^2}{x})dx\\ & ={\int }_1^3(x^2+2x)dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3+x^2)|}_1^3\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(3{)}^3+\left(3{)}^2\right)-\left(\frac{1}{3}\right(1{)}^3+\left(1{)}^2\right)\\ & =\frac{50}{3}\end{array}$

${\int }_1^5|3-x|dx$ (32)

أعيد تعريف اقتران القيمة المطلقة:

$|3-x|=\{\begin{array}{ll}3-x,& x<3\\ x-3,& x\ge 3\end{array}$

بما أن الاقتران تشعب عند 3، فإنني أجزئ التكامل عنده:

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& {\int }_1^5|3-x|dx={\int }_1^3(3-x)dx+{\int }_3^5(x-3)dx\\ & ={(3x-\frac{1}{2}{x}^2)|}_1^3+{(\frac{1}{2}{x}^2-3x)|}_3^5\\ & =\left(3\right(3)-\frac{1}{2}(3{)}^2)-\left(3\right(1)-\frac{1}{2}(1{)}^2)+\left(\frac{1}{2}\right(5{)}^2-3\left(5\right))-\left(\frac{1}{2}\right(3{)}^2-3\left(3\right))\\ & =4\end{array}\end{array}$

${\int }_1^4\frac{20}{\sqrt{x}}dx$ (33)

$\begin{array}{rl}{\int }_1^4\frac{20}{\sqrt{x}}dx& ={\int }_1^{4}20x^{-\frac{1}{2}}dx\\ & ={40x^{\frac{1}{2}}|}_1^4\\ & ={40\sqrt{x}|}_1^4\\ & =40\sqrt{4}-40\sqrt{1}\\ & =40\end{array}$

${\int }_2^{5}3x(x+2)dx$ (34)

$\begin{array}{rl}{\int }_2^{5}3x(x+2)dx& ={\int }_2^5(3x^2+6x)dx\\ & ={(x^3+3x^2)|}_2^5\\ & =\left(\right(5{)}^3+3\left(5{)}^2\right)-\left(\right(2{)}^3+3\left(2{)}^2\right)\\ & =180\end{array}$

${\int }_2^{3}2x{e}^{-x^2}dx$ (35)

$\begin{array}{rl}{\int }_2^{3}2x{e}^{-x^2}dx& \\ u=-x^2\Rightarrow & \frac{du}{dx}=-2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{-2x}\\ x=3\Rightarrow u& =-9\\ x=2\Rightarrow u& =-4\\ {\int }_2^{3}2x{e}^{-x^2}dx& ={\int }_{-4}^{-9}2x{e}^u\times \frac{du}{-2x}\\ & ={\int }_{-4}^{-9}-e^{u}du\\ & =-{e^u|}_{-4}^{-9}\\ & =-e^{-9}+e^{-4}\\ & =-\frac{1}{e^9}+\frac{1}{e^4}\end{array}$

${\int }_0^2\frac{3x^2}{{(x^3+1)}^5}dx$ (36)

$\begin{array}{rl}& {\int }_0^2\frac{3x^2}{{(x^3+1)}^5}dx\\ & u=x^3+1\Rightarrow \frac{du}{dx}=3x^2\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{3x^2}\\ & x=2\Rightarrow u=9\\ & x=0\Rightarrow u=1\\ & {\int }_0^2\frac{3x^2}{{(x^3+1)}^5}dx={\int }_1^9\frac{3x^2}{u^5}\times \frac{du}{3x^2}\\ & ={\int }_1^9{u}^{-5}du\\ & =-{\frac{1}{4}{u}^{-4}|}_1^9\\ & =-{\frac{1}{4u^4}|}_1^9\\ & =-\frac{1}{4(9{)}^4}+\frac{1}{4(1{)}^4}\\ & =\frac{1640}{6561}\end{array}$

${\int }_0^1\frac{6x}{x^2+1}dx$ (37)

$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{6x}{x^2+1}dx& ={\int }_0^1\frac{3\left(2x\right)}{x^2+1}dx\\ & =3{\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx\\ & ={3\ln |x^2+1||}_0^1\\ & =3\ln \left|2\right|-3\ln \left|1\right|\\ & =3\ln 2\end{array}$

(38) إذا كان: $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+4& ,x<0\\ 4-x& ,x\ge 0\end{array}$، فأجد قيمة: ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)dx$.

بما أن الاقتران تشعب عند 0، فإنني أجزئ التكامل عنده:

$\begin{array}{rl}{\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)dx& ={\int }_{-2}^0(x^2+4)dx+{\int }_0^1(4-x)dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3+4x)|}_{-2}^0+{(4x-\frac{1}{2}{x}^2)|}_0^1\\ & =\left(0\right)-\left(\frac{1}{3}\right(-2{)}^3+4(-2))+\left(4\right(1)-\frac{1}{2}(1{)}^2)-\left(0\right)\\ & =\frac{85}{6}\end{array}$

(39) يتحرك جسم في مسار مستقيم، وتعطى سرعته المتجهة بالاقتران: $v\left(t\right)=5+e^{t-2}$، حيث t الزمن بالثواني، وv سرعته المتجهة بالمتر لكل ثانية، إذا الجسيم حركته من نقطة الأصل، فأجد موقعه بعد 3 ثوان من بدء الحركة.

$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& =5+e^{t-2}\\ s\left(t\right)& =\int (5+e^{t-2})dt\\ & =5t+e^{t-2}+C\\ s\left(t\right)& =5t+e^{t-2}+C\end{array}$

بما أن الجسيم بدأ حركته من نقطة الأصل، إذن s(0)=0:

$\begin{array}{rl}& s\left(0\right)=5\left(0\right)+e^{0-2}+C\\ & 0=e^{-2}+C\\ & C=-e^{-2}\\ & C=-\frac{1}{e^2}\\ & \Rightarrow s\left(t\right)=5t+e^{t-2}-\frac{1}{e^2}\end{array}$

موقع الجسم بعد 3 ثوان من الحركة هو:

$\begin{array}{rl}s\left(3\right)& =5\left(3\right)+e^{3-2}-\frac{1}{e^2}\\ & =15+e-\frac{1}{e^2}m\end{array}$

في كل مما يأتي المشتقة الأولى للاقتران (f(x، ونقطة يمر بها منحنى (y=f(x. أستعمل المعلومات المعطاة لإيجاد قاعدة الاقتران (f(x:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2+6x-2;(0,6)$ (40)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (3x^2+6x-2)dx\\ & =x^3+3x^2-2x+C\end{array}$

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (0,6) إذن:

$\begin{array}{rl}& 6=(0{)}^3+3(0{)}^2-2\left(0\right)+C\\ & C=6\\ & f\left(x\right)=x^3+3x^2-2x+6\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\sqrt{20}}{x^2};(1,400)$ (41)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int \frac{\sqrt{20}}{x^2}dx\\ & =\int \sqrt{20}{x}^{-2}dx\\ & =-\sqrt{20}{x}^{-1}+C\\ & =-\frac{\sqrt{20}}{x}+C\end{array}$

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (1,400) إذن:

$\begin{array}{rl}& 400=-\frac{\sqrt{20}}{1}+C\\ & C=400+\sqrt{20}\\ & f\left(x\right)=-\frac{\sqrt{20}}{x}+400+\sqrt{20}\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2};(1,1)$ (42)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2})dx\\ & =\int (\frac{2}{x}+x^{-2})dx\\ & =2\ln \left|x\right|-x^{-1}+C\\ & =2\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}+C\end{array}$

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (1,1) إذن:

$\begin{array}{rl}& 1=2\ln \left|1\right|-\frac{1}{1}+C\\ & C=2\\ & f\left(x\right)=2\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}+2\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=5e^x-4;(0,-1)$ (43)

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\int (5e^x-4)dx\\ & =5e^x-4x+C\end{array}$

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (1-,0) إذن:

$\begin{array}{rl}& -1=5e^0-4\left(0\right)+C\\ & C=-6\\ & f\left(x\right)=5e^x-4x-6\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x\sqrt{x^2+5};(2,10)$ (44)

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\int x\sqrt{x^2+5}dx\\ & u=x^2+5\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\\ & \Rightarrow dx=\frac{du}{2x}\\ & \int x\sqrt{x^2+5}dx=\int x{u}^{\frac{1}{2}}\times \frac{du}{2x}\\ & =\int \frac{1}{2}{u}^{\frac{1}{2}}du\\ & =\frac{1}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =\frac{1}{3}\sqrt{{(x^2+5)}^3}+C\end{array}$

بما أن منحنى الاقتران يمر بالنقطة (2,10) إذن:

$\begin{array}{rl}& 10=\frac{1}{3}\sqrt{{\left(\right(2{)}^2+5)}^3}+C\\ & C=1\\ & f\left(x\right)=\frac{1}{3}\sqrt{{(x^2+5)}^3}+1\end{array}$

(45) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران: $f\left(x\right)=x^2-x-2$، والمحور x، والمستقيمين: x=1,x=-2

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow x^2-x-2=0\\ & \Rightarrow (x+1)(x-2)=0\\ & \Rightarrow x=-1,x=2\end{array}$

نختار عدداً ضمن الفترة [2,1-]، وليكن 1.5- ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=(-1.5+1)(-1.5-2)=1.75>0$

بما أن ناتج التعويض موجب، إذن منحنى الاقتران يقع فوق المحور x في الفترة [1-,2-]

نختار عددا ضمن الفترة [1,1-]، وليكن 0 ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=(0+1)(0-2)=-2<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [1,1-]

العدد 2 خارج الفترة المطلوبة بالسؤال، إذن نهمله

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-2}^{-1}(x^2-x-2)dx-{\int }_{-1}^1(x^2-x-2)dx\\ & ={\int }_{-2}^{-1}(x^2-x-2)dx+{\int }_{-1}^1(-x^2+x+2)dx\\ & ={(\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x)|}_{-2}^{-1}+{(-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+2x)|}_{-1}^1\\ & =(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2)-(-\frac{8}{3}-2+4)+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+2)-(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2)\\ & =\frac{31}{6}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{31}{6}$ وحدة مربعة.

(46) طب: يمثل الاقتران (1)C تركيز دواء في الدم بعد t ساعة من حقنه في جسم مريض، حيث C مقيسة بالمليغرام لكل سنتيمتر مكعب $(\mathrm{mg}/{\mathrm{cm}}^3)$. إذا كان تركيز الدواء فـي دم المريض يتغير بمعدل $C^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{3t}{\sqrt{{(t^2+36)}^3}}$، فأجد مقدار التغير في تركيز الدواء بالدم خلال الساعات الثماني الأولى التي تلت حقنه في جسم المريض.

أولاً نجد قاعدة الاقتران:

$\begin{array}{rl}& C\left(t\right)=\int \frac{3t}{\sqrt{{(t^2+36)}^3}}dt\\ & u=t^2+36\Rightarrow \frac{du}{dt}=2t\\ & \Rightarrow dt=\frac{du}{2t}\\ & C\left(t\right)=\int \frac{3t}{\sqrt{{(t^2+36)}^3}}dt\\ & =\int \frac{3t}{\sqrt{u^3}}\times \frac{du}{2t}\\ & =\int \frac{3}{2}{u}^{-\frac{3}{2}}du\\ & =-3u^{-\frac{1}{2}}+K\\ & =-\frac{3}{\sqrt{u}}+K\\ & =-\frac{3}{\sqrt{t^2+36}}+K\end{array}$

بما أن مقدار تركيز الدواء في الدم في البداية هي 0 مليغرام، إذن 0=(0)C ومنه:

$\begin{array}{rl}& C\left(t\right)=-\frac{3}{\sqrt{t^2+36}}+K\\ & C\left(0\right)=-\frac{3}{\sqrt{0+36}}+K\\ & 0=\frac{1}{2}+K\\ & K=-\frac{1}{2}\\ & C\left(t\right)=-\frac{3}{\sqrt{t^2+36}}-\frac{1}{2}\\ & C\left(8\right)=-\frac{3}{\sqrt{64+36}}-\frac{1}{2}=-\frac{8}{10}\end{array}$

مقدار التغير في تركيز الدواء في الجسم خلال الساعات الثماني الأولى من حقنه هو $-0.8 mg/{\mathrm{cm}}^2$

(47) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f\left(x\right)=3x^2-3x$، والمحور x.

أولاً نساوي قاعدة الاقتران بالصفر، ونحل المعادلة الناتجة:

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)=0& \Rightarrow 3x^2-3x=0\\ & \Rightarrow 3x(x-1)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=1\end{array}$

هذه الإحداثيات تمثل حدود التكامل.

نختار عدداً ضمن الفترة [0,1]، وليكن $\frac{1}{2}$ ونعوضه في قاعدة الاقتران:

$f\left(0\right)=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}<0$

بما أن ناتج التعويض سالب، إذن منحنى الاقتران يقع تحت المحور x في الفترة [0,1]

$\begin{array}{rl}A=-{\int }_0^1(3x^2-3x)dx& ={\int }_0^1(-3x^2+3x)dx\\ & ={(-x^3+\frac{3}{2}{x}^2)|}_0^1\\ & =(-(1{)}^3+\frac{3}{2}\left(1{)}^2\right)-(-(0{)}^3+\frac{3}{2}\left(0{)}^2\right)\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{1}{2}$ وحدة مربعة.

أجد مساحة المنطقة المظللة في كل من التمثيلات البيانية الآتية:

$\begin{array}{rl}A& =-{\int }_{-3}^{-1}(x^2+4x+3)dx+{\int }_{-1}^0(x^2+4x+3)dx\\ & ={\int }_{-3}^{-1}(-x^2-4x-3)dx+{\int }_{-1}^0(x^2+4x+3)dx\\ & ={(-\frac{1}{3}{x}^3-2x^2-3x)|}_{-3}^{-1}+{(\frac{1}{3}{x}^3+2x^2+3x)|}_{-1}^0\\ & =(\frac{1}{3}-2+3)-(9-18+9)+\left(0\right)-(-\frac{1}{3}+2-3)\\ & =\frac{8}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{8}{3}$ وحدة مربعة.

$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^1{x}^{3}dx\\ & ={\left(\frac{1}{4}{x}^4\right)|}_0^1\\ & =\left(\frac{1}{4}\right(1{)}^4)-\left(\frac{1}{4}\right(0{)}^4)\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{1}{4}$ وحدة مربعة.

$\begin{array}{rl}A& =-{\int }_0^2-x^{2}dx\\ & ={\int }_0^2{x}^{2}dx\\ & ={\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)|}_0^2\\ & =\left(\frac{1}{3}\right(2{)}^3)-\left(\frac{1}{3}\right(0{)}^3)\\ & =\frac{8}{3}\end{array}$

إذن، المساحة هي: $\frac{8}{3}$ وحدة مربعة.

$\begin{array}{rl}A& =-{\int }_{-1}^{0}x{e}^{x^2}dx+{\int }_0^{2}x{e}^{x^2}dx\\ & ={\int }_{-1}^0-x{e}^{x^2}dx+{\int }_0^{2}x{e}^{x^2}dx\\ u& =x^2\Rightarrow \frac{du}{dt}=2x\\ & \Rightarrow dt=\frac{du}{2x}\\ x& =0\Rightarrow u=0\\ x& =-1\Rightarrow u=1\\ x& =2\Rightarrow u=4\\ A& ={\int }_1^0-x{e}^u\times \frac{du}{2x}+{\int }_0^{4}x{e}^u\times \frac{du}{2x}\\ & ={\int }_1^0-\frac{1}{2}{e}^{u}du+{\int }_0^4\frac{1}{2}{e}^{u}du\\ & ={(-\frac{1}{2}{e}^u)|}_1^0+{\left(\frac{1}{2}{e}^u\right)|}_0^4\\ & =(-\frac{1}{2}{e}^0)-(-\frac{1}{2}{e}^1)+\left(\frac{1}{2}{e}^4\right)-\left(\frac{1}{2}{e}^0\right)\\ & =-1+\frac{1}{2}e+\frac{1}{2}{e}^4\end{array}$

إذن، المساحة هي: $-1+\frac{1}{2}e+\frac{1}{2}{e}^4$ وحدة مربعة.