إجابات كتاب التمارين

الاقترانات الأسية

أجد قيمة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(1) f(x) = (13)^x , x = 2

f(2) = (13)² = 169

(2) f(x) = 4(5)^x , x = 3

f(3) = 4(5)³ = 4 x 125 = 500

(3) f(x) = 7($\frac{1}{2}$)^x , x = 3

f(3) = 7($\frac{1}{2}$)³ = 7 x $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

(4) f(x) = -(3)^x + 7 , x = 4

f(4) = -(3)⁴ + 7 = -81 + 7 = -74

(5) f(x) = -(2)^x + 1 , x = 6

f(6) = -(2)⁶ + 1 = -64 + 1 = -63

(6) f(x) = ($\frac{1}{4}$)^x – 12 , x = 3

f(3) = ($\frac{1}{4}$)³ - 12 = $\frac{1}{64}$ - 12 = - $\frac{767}{64}$

أمثل كل اقتران ممّا يأتي بيانياً، ثم أحدد مجاله ومداه:

(7) f(x) = 7(6)^x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (0 , $\infty$).

(8) f(x) = 7^-x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (0 , $\infty$).

(9) f(x) = 7($\frac{1}{8}$)^x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (0 , $\infty$).

(10) f(x) = 2(9)^x

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (0 , $\infty$).

أجد خط الاقتران الأفقي لكل اقتران مما يأتي، ثم أحدد مجاله ومداه، مبيناً إذا كان متناقصاً أم متزايداً:

(11) f(x) = 7^x-2 + 1

لهذا الاقتران خط تقارب أفقي هو y = 1

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (1 , $\infty$).

الاقتران متزايد.

(12) f(x) = ($\frac{1}{7}$)^x+1 - 3

لهذا الاقتران خط تقارب أفقي هو y = -3

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (-3 , $\infty$).

الاقتران متناقص.

(13) f(x) = 5($\frac{1}{4}$)^x+3 - 7

لهذا الاقتران خط تقارب أفقي هو y = -7

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (-7 , $\infty$).

الاقتران متناقص.

(14) f(x) = 7(4)^x-5 + 3

لهذا الاقتران خط تقارب أفقي هو y = 3

مجال هذا الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R .

مدى هذا الاقتران هو (3 , $\infty$).

الاقتران متزايد.

بكتيريا: يمثل الاقتران: f(x) = 400(2)^{$\frac{x}{3}$}  عدد الخلايا البكتيرية بعد x ساعة في تجربة مخبرية:

(15) أجد عدد الخلايا البكتيرية عند بدء التجربة.

f(x) = 400${\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$

f(0) = 400(2)⁰ = 400

(16) أجد عدد الخلايا البكتيرية بعد 12 ساعة.

f(12) = 400${\left(2\right)}^{\frac{12}{3}}$ = 400(2)⁴ = 400 x 16 = 6400

(17) بعد كم ساعة يصبح عدد الخلايا البكتيرية 102400 خلية؟

102400 = 400${\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$

256 = ${\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$

(2)⁸ = ${\left(2\right)}^{\frac{x}{3}}$

 8 = $\frac{x}{3}$

x = 24

إذن، يصبح عدد الخلايا البكتيرية 102400 بعد 24 ساعة.

خزان: يمثل الاقتران: f(x) = 2(0.75)^x  كمية الماء المتبقية في خزان (بالمتر المكعب) بعد x ساعة نتيجة ثقب فيه:

(18) أجد كمية الماء المتبقية في الخزان بعد ساعة واحدة.

f(1) = 2(0.75)¹  = 1.5 m³

(19) ما الزمن الذي تصبح فيه كمية الماء المتبقية في الخزان m³ $\frac{9}{8}$ تقريباً؟

$\frac{9}{8}$ = 2(0.75)^x

$\frac{9}{16}$ = (0.75)^x

($\frac{3}{4}$)² = ($\frac{3}{4}$)^x

x = 2