أتدرب وأحل المسائل

قاعدة السلسلة

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) f(x) = (1 + 2x)⁴

f ’(x) = 4 (1 + 2x)³ (2)

         = 8 (1 + 2x)³

(2) f(x) = (3 – 2x²)^-5

f ’(x) = -5 (3 – 2x²)^-6 (-4x)

         = 20x (3 – 2x²)^-6

         = $\frac{20x}{{(3 - 2x^2)}^6}$

(3) f(x) = ${(x^2 – 7x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

f ’(x) = $\frac{3}{2}$ ${(x^2 – 7x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (2x – 7)

     = $\frac{3}{2}$ (2x – 7) $\sqrt{x^2 - 7x + 1}$

(4) f(x) = $\sqrt{7 - x}$

f ’(x) = $\frac{-1}{2\sqrt{7 - x}}$

(5) f(x) = 4(2 + 8x)⁴

f ’(x) =  16(2 + 8x)³ (8)

         = 128(2 + 8x)³

(6) f(x) = $\frac{1}{\sqrt[3]{4x - 8}}$

f(x) = ${(4x – 8)}^{-\frac{1}{3}}$

f ’(x) = -$\frac{1}{3}$ ${(4x – 8)}^{-\frac{4}{3}}$  (4)

        = -$\frac{4}{3}$ ${(4x – 8)}^{-\frac{4}{3}}$

        = $\frac{-4}{3\sqrt[3]{{(4x - 8)}^4}}$

(7) f(x) = $\sqrt{5 + 3x^3}$

f ’(x) = $\frac{9x^2}{2\sqrt{5 - 3x^3}}$

(8) f(x) = $\sqrt{x}$ + (x – 3)²

f ’(x) = $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ + 2(x – 3)

(9) f(x) = $\sqrt[3]{2x - x^5}$ + (4 – x)²

f(x) = ${(2x – x^5)}^{\frac{1}{3}}$ + (4 – x)²

f ’(x) = $\frac{1}{3}$${(2x – x^5)}^{-\frac{2}{3}}$ (2 – 5x⁴) + 2(4 – x) (-1)

         = $\frac{2 - 5x^4}{3\sqrt[3]{{(2x - x^5)}^2}}$ - 8 + 2x

(10) f(x) = ($\sqrt{x}$ + 5)⁴

f ’(x) = 4 ($\sqrt{x}$ + 5)³ x $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

         = $\frac{2{(\sqrt{x} + 5)}^3}{\sqrt{x}}$

(11) f(x) = $\sqrt{{(2x - 5)}^3}$

f ’(x) = $\frac{3{(2x - 5)}^2 \left(2\right)}{2 \sqrt{{(2x - 5)}^3}}$

         = $\frac{3{(2x - 5)}^2 }{\sqrt{{(2x - 5)}^3}}$ = 3 $\sqrt{2x - 5}$

(12) f(x) = (2x³ – 3x² + 4x + 1)⁵

f ’(x) = 5(2x³ – 3x² + 4x + 1)⁴ (6x² – 6x + 4)

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(13) f(x) = $\frac{1}{{(4x + 1)}^2}$ , x = $\frac{1}{4}$

f(x) = (4x + 1)^-2

f ’(x) = -2 (4x + 1)^-3 (4)

        = $\frac{8}{{(4x + 1)}^3}$

f ’($\frac{1}{4}$) = -$\frac{8}{{(4 x {\displaystyle \frac{1}{4}} + 1)}^3}$ = -1

(14) f(x) = $\sqrt{25 - x^2 }$ , x = 3

f ’(x) = $\frac{-x }{\sqrt{25 - x^2}}$

f ’(3) = $\frac{-3 }{\sqrt{25 - {\left(3\right)}^2}}$ = -$\frac{3}{4}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكلّ ممّا يأتي:

(15) $y=5u^2+3u, u=x^3+1$

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{du}& =10u+3\\ \frac{du}{dx}& =3x^2\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\\ & =(10u+3)\times 3x^2\\ & =(10(x^3+1)+3)\times 3x^2\\ & =(10x^3+13)\times 3x^2\\ & =30x^5+39x^2\end{array}$

(16) $y=\sqrt[3]{2u+5}, u=x^2-x$

$\begin{array}{rl}y& =(2u+5{)}^{\frac{1}{3}}\\ \frac{dy}{du}& =\frac{1}{3}(2u+5{)}^{-\frac{2}{3}}(2)=\frac{2}{3}(2u+5{)}^{-\frac{2}{3}}\\ \frac{du}{dx}& =2x-1\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\\ & =\frac{2}{3}(2u+5{)}^{-\frac{2}{3}}\times (2x-1)\\ & =\frac{2}{3}{(2(x^2-x)+5)}^{-\frac{2}{3}}\times (2x-1)\\ & =\frac{4x-2}{3\sqrt[3]{{(2x^2-2x+5)}^2}}\end{array}$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكلّ ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(17) $y=3u^2-5u+2, u=x^2-1, x=2$

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{du}& =6u-5\\ \frac{du}{dx}& =2x\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\\ & =(6u-5)\times \left(2x\right)\\ & =(6(x^2-1)-5)\times \left(2x\right)\\ & \end{array}$

${\frac{dy}{dx}|}_{x=2}=\left(6\right(4-1)-5)\times \left(4\right)=52$

(18) $y={(1+u^2)}^3, u=2x-1, x=1$

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{du}& =3{(1+u^2)}^2\left(2u\right)=6u{(1+u^2)}^2\\ \frac{du}{dx}& =2\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\\ & =6u{(1+u^2)}^2\times \left(2\right)\\ & =12(2x-1){(1+(2x-1{)}^2)}^2\end{array}$

${\frac{dy}{dx}|}_{x=1}=12(2-1){(1+(2-1{)}^2)}^2=48$

صناعة: يمثل الاقتران: C(x) = 1000 $\sqrt{x^2 - 0.1x}$  تكلفة إنتاج x من منتج معين (بآلاف الدنانير):

(19) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتجة.

$C^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1000(2x-0.1)}{2\sqrt{x^2-0.1x}}=\frac{1000x-50}{\sqrt{x^2-0.1x}}$

(20) أجد معدل تغير تكلفة الإنتاج بالنسبة إلى عدد القطع المُنتجة عندما يكون عدد القطع المنتجة 20 قطعة.

$C^{\mathrm{\prime }}\left(20\right)=\frac{1000\left(20\right)-50}{\sqrt{(20{)}^2-0.1(20)}}=\frac{19950}{\sqrt{398}}\approx 1000$

علوم: يمثل الاقتران:N(t) = 400 (1 - $\frac{3}{{(t^2+2)}^2}$)  عدد الخلايا البكتيرية بعد t يوماً في مجتمع بكتيري:

(21) أجد معدل تغير N بالنسبة إلى t عندما t = 1 .

$\begin{array}{rl}& N\left(t\right)=400(1-3{(t^2+2)}^{-2})\\ & N^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=400\left(6{(t^2+2)}^{-3}\right(2t\left)\right)=\frac{4800t}{{(t^2+2)}^3}\\ & N^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=\frac{4800}{(1+2{)}^3}\approx 178\end{array}$

(22) أجد معدل تغير N بالنسبة إلى t عندما t = 4 .

$N^{\mathrm{\prime }}\left(4\right)=\frac{4800\left(4\right)}{(16+2{)}^3}\approx 3$

إذا كان: $\mathit{g}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{g}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{h}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{ }{\mathit{h}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}$ ، فأجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عندما x = 3 :

(23) $f\left(x\right)=g\left(h\right(x\left)\right)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =g^{\mathrm{\prime }}\left(h\right(x\left)\right)\times h^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)& =g^{\mathrm{\prime }}\left(h\right(3\left)\right)\times h^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)\\ & =g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)\times -2\\ & =6\times -2=-12\end{array}$

(24) $f\left(x\right)=\left(h\right(x){)}^3$

$\begin{array}{rl}{h}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =f^{\mathrm{\prime }}\left(g\right(x\left)\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)\\ h^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)& =f^{\mathrm{\prime }}\left(g\right(2\left)\right)\times g^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)\\ & =f^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)\times -1\end{array}$