أتحقق من فهمي

مشتقتا الضرب والقسمة

مشتقة ضرب اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة 65

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=(x^3+4)(7x^2-4x)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(x^3+4)(14x-4)+(7x^2-4x)\left(3x^2\right)\\ & =14x^4-4x^3+56x-16+21x^4-12x^3\\ & =35x^4-16x^3+56x-16\end{array}$

(b) $f\left(x\right)=(\sqrt{x}+1)(3x-2)$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(\sqrt{x}+1)\left(3\right)+(3x-2)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\\ & =3\sqrt{x}+3+\frac{3x}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}}\\ & =3\sqrt{x}+3+\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\\ & =\frac{9}{2}\sqrt{x}+3-\frac{1}{\sqrt{x}}\end{array}$

مشتقة قسمة اقترانين

أتحقق من فهمي صفحة 67

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=\frac{3x+1}{x-2}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(x-2)\left(3\right)-(3x+1)\left(1\right)}{(x-2{)}^2}\\ & =\frac{3x-6-3x-1}{(x-2{)}^2}\\ & =\frac{-7}{(x-2{)}^2}\end{array}$

(b) $f\left(x\right)=\frac{x^{-3}}{x^2+1}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{(x^2+1)(-3x^{-4})-\left(x^{-3}\right)\left(2x\right)}{{(x^2+1)}^2}\\ & =\frac{-3x^{-2}-3x^{-4}-2x^{-2}}{{(x^2+1)}^2}\\ & =\frac{-5x^{-2}-3x^{-4}}{{(x^2+1)}^2}\end{array}$

أتحقق من فهمي صفحة 68

سكان: يُمثل عدد سكان بلدة صغيرة بالاقتران: $P\left(t\right)=\frac{5}{2t^2+9}$ ، حيث t الزمن بالسنوات منذ الآن، و P عدد السكان بالآلاف:

(a) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t .

$\begin{array}{rl}{P}^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)& =\frac{(2t^2+9)\left(0\right)-\left(5\right)\left(4t\right)}{{(2t^2+9)}^2}\\ & =\frac{-20t}{{(2t^2+9)}^2}\end{array}$

(b) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما= 2  t ، مفسّراً معنى الناتج.

$P^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=\frac{-40}{(8+9{)}^2}=\frac{-40}{289}\approx -0.14$

يتناقص عدد السكان بمعدل 140 نسمة لكل سنة بعد سنتين من الآن.

مشتقة المقلوب

أتحقق من فهمي صفحة 70

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=\frac{1}{1-x^3}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{-\left(1\right)(-3x^2)}{{(1-x^3)}^2}\\ & =\frac{3x^2}{{(1-x^3)}^2}\end{array}$

(b) $f\left(x\right)=\frac{3}{2x+1}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{-\left(3\right)\left(2\right)}{(2x+1{)}^2}\\ & =\frac{-6}{(2x+1{)}^2}\end{array}$

مشتقتا الضرب والقسمة وقاعدة السلسلة

أتحقق من فهمي صفحة 71

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(a) $f\left(x\right)=20x{(4x^3-1)}^6$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(20x\right)\times 6{(4x^3-1)}^5\left(12x^2\right)+{(4x^3-1)}^6\left(20\right)\\ & ={(4x^3-1)}^5(1520x^3-20)\end{array}$

(b) $f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{(x+2{)}^4}$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=& \frac{(x+2{)}^4(2x)-(x^2-1)\times 4(x+2{)}^3\times 1}{(x+2{)}^8}\\ & =\frac{2x(x+2{)}^4-4(x^2-1)(x+2{)}^3}{(x+2{)}^8}\\ & =\frac{-2x^2+4x+4}{(x+2{)}^5\left(2x\right(x+2)-4(x^2-1))}\end{array}$