أتدرب وأحل المسائل

مشتقتا الاقتران الأسي الطبيعي والاقتران اللوغاريتمي الطبيعي

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(1) $f\left(x\right)=2e^x+1$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2e^x$

(2) $f\left(x\right)=e^{3x+9}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3e^{3x+9}$

(3) $f\left(x\right)=(x^2+3x-9)e^x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(x^2+3x-9)\left(e^x\right)+\left(e^x\right)(2x+3)=e^x(x^2+5x-6)$

(4) $f\left(x\right)=\frac{e^x}{x^4}$

f$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{x^4{e}^x-e^x\left(4x^3\right)}{x^8}=\frac{x{e}^x-4e^x}{x^5}$

(5) $f\left(x\right)=6e^{\sqrt{x}}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6\times \frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}=\frac{3}{\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}$

(6) $f\left(x\right)=\frac{e^x}{1+e^x}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(1+e^x)\left(e^x\right)-e^x\left(e^x\right)}{{(1+e^x)}^2}=\frac{e^x}{{(1+e^x)}^2}$

(7) $f\left(x\right)=(e^x+2)(e^x-1)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(e^x+2)\left(e^x\right)+(e^x-1)\left(e^x\right)=2e^{2x}+e^x$

(8) $f\left(x\right)=e^{-2x}(2x-1{)}^5$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(e^{-2x}\right)\times 5(2x-1{)}^4\times 2+(2x-1{)}^5(-2e^{-2x})\\ & =2e^{-2x}(2x-1{)}^4(6-2x)\end{array}$

(9) $f\left(x\right)=x^3-5e^{2x}$

f$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-5\times 2e^{2x}=3x^2-10e^{2x}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي:

(10) $f\left(x\right)=3\ln x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{x}$

(11) $f\left(x\right)=x^3\ln x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(x^3\right)\left(\frac{1}{x}\right)+(lnx)\left(3x^2\right)=x^2+3x^{2}lnx$

(12) $f\left(x\right)=\frac{\ln x}{x^2}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{x^2\left(\frac{1}{x}\right)-(lnx)\left(2x\right)}{x^4}=\frac{x-2xlnx}{x^4}=\frac{1-2lnx}{x^3}$

(13) $f\left(x\right)=x^2\ln \left(4x\right)$

f$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(x^2\right)\left(\frac{4}{4x}\right)+(ln(4x\left)\right)\left(2x\right)=x+2xln\left(4x\right)$

(14) $f\left(x\right)=\ln \left(\frac{x+1}{x}\right)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\frac{\left(x\right)\left(1\right)-(x+1)\left(1\right)}{x^2}}{\frac{x+1}{x}}=\frac{\frac{-1}{x^2}}{\frac{x+1}{x}}=\frac{-1}{x^2}\times \frac{x}{x+1}=\frac{-1}{x(x+1)}$

(15) $f\left(x\right)=\ln \sqrt{x^2-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}\times \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{x}{x^2-1}$

(16) f$f\left(x\right)=(\ln x{)}^4$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4(lnx{)}^3\times \frac{1}{x}=\frac{4(lnx{)}^3}{x}$

(17) $f\left(x\right)=\ln (x^2-5)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{2x}{x^2-5}$

(18) $f\left(x\right)=x^4\ln x-\frac{1}{2}{e}^x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(x^4\right)\left(\frac{1}{x}\right)+(lnx)\left(4x^3\right)-\frac{1}{2}{e}^x=x^3+4x^{3}lnx-\frac{1}{2}{e}^x$

(19) $f\left(x\right)=e^{2x}\ln x$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(e^{2x}\right)\left(\frac{1}{x}\right)+(lnx)\left(2e^{2x}\right)=\frac{e^{2x}(1+xlnx)}{x}$

(20) f$f\left(x\right)=(\ln 3x)(\ln 7x)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(ln3x)\left(\frac{7}{7x}\right)+(ln7x)\left(\frac{3}{3x}\right)=\frac{ln3x+ln7x}{x}$

(21) $f\left(x\right)=\ln (e^x-2)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{e^x}{e^x-2}$

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(22) $f\left(x\right)=e^{2x-1}\ln (2x-1) , x=1$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(e^{2x-1}\right)\left(\frac{2}{2x-1}\right)+(ln(2x-1\left)\right)\left(2e^{2x-1}\right)\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=\left(e^{2-1}\right)\left(\frac{2}{2-1}\right)+(ln(2-1\left)\right)\left(2e^{2-1}\right)=2e+0=2e\end{array}$

(23) $f\left(x\right)=\frac{\ln x^2}{x} , x=4$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\frac{x\left(\frac{2x}{x^2}\right)-(ln{x}^2)\left(1\right)}{x^2}=\frac{2-ln{x}^2}{x^2}\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(4\right)& =\frac{2-ln16}{16}\end{array}$

(24) فيروسات: يمكن نمذجة انتشار الإنفلونزا في إحدى المدارس باستعمال الاقتران: $P\left(t\right)=\frac{100}{1+e^{3-t}}$ ، حيث P(t) عدد السنوات بعد t يوماً من ملاحظة الإنفلونزا أوّل مرّة في المدرسة. أجد سرعة انتشار الإنفلونزا في المدرسة بعد 3 أيام.

$\begin{array}{rl}& P^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{-100\times -e^{3-t}}{{(1+e^{3-t})}^2}=\frac{100e^{3-t}}{{(1+e^{3-t})}^2}\\ & P^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=\frac{100e^{3-3}}{{(1+e^{3-3})}^2}=\frac{100}{4}=25\end{array}$

(25) ذاكرة: يُستعمل الاقتران: $m\left(t\right)=t\ln t+1 , 0<t\le 4$ لقياس قدرة الأطفال على التذكر، حيث m مقياس من 1 إلى 7 ، و t عمر الطفل بالسنوات. أجد معدل تغير قدرة الأطفال على التذكر بالنسبة إلى عمر الطفل t .

$m^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\left(t\right)\left(\frac{1}{t}\right)+(ln t)\left(1\right)=1+ln t$

أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكلّ ممّا يأتي:

(26) $y=e^{2u}+3 , u=x^2+1$

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{du}& =2e^{2u}\\ \frac{du}{dx}& =2x\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\\ & =2e^{2u}\times 2x\\ & =4x{e}^{2u}\\ & =4x{e}^{2(x^2+1)}\end{array}$

(27) $y=\ln (u+1) , u=e^x$

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{du}& =\frac{1}{u+1}\\ \frac{du}{dx}& =e^x\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\\ & =\frac{1}{u+1}\times e^x\\ & =\frac{e^x}{e^x+1}\end{array}$