مهارات التفكير العليا

مشتقتا اقتران الجيب واقتران جيب التمام

(24) تبرير: إذا كان: $y=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)$ ، فأثبت أنّ $\frac{dy}{dx}={\sin }^2 x$ ، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{1}{2}(1-((sinx)(-sinx)+(cosx)(cosx)\left)\right)\\ & =\frac{1}{2}(1-(-si{n}^{2}x+co{s}^{2}x))\\ & =\frac{1}{2}(1+si{n}^{2}x-co{s}^{2}x)\\ & =\frac{1}{2}(si{n}^{2}x+1-co{s}^{2}x)\\ & =\frac{1}{2}(si{n}^{2}x+si{n}^{2}x)\\ & =\frac{1}{2}(2si{n}^{2}x)\\ & =si{n}^{2}x\end{array}$

(25) تحدّ: أجد مشتقة الاقتران: $f\left(x\right)=e^x {\sin }^2 x \cos x$ .

$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =(e^{x}cosx)(sinx{)}^2\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =(e^{x}cosx)\left(2\right(sinx{)}^{1}cosx)+(sinx{)}^2\left(\left(e^x\right)\right(-sinx)+(cosx\left)\left(e^x\right)\right)\\ & =e^{x}sinx(2co{s}^{2}x-si{n}^{2}x+cosxsinx)\end{array}$

(26) أكتشف الخطأ: أكتشف الخطأ في الحلّ الآتي، ثم أصحّحه:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}cos\left(\frac{1}{x}\right)$