أتدرب وأحل المسائل

المشتقة الثانية والسرعة المتجهة والتسارع

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران مما يأتي:

(1) $f\left(x\right)=3x^3-4x^2+5x$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=9x^2-8x+5\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=18x-8\end{array}$

(2) $f\left(x\right)=2e^x+x^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2e^x+2x\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=2e^x+2\end{array}$

(3) $f\left(x\right)=2\cos x-x^3$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-2sin x-3x^2\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=-2cos x-6x\end{array}$

(4) $f\left(x\right)=4\ln x-3x^3$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4\left(\frac{1}{x}\right)-9x^2=\frac{4}{x}-9x^2\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{4}{x^2}-18x\end{array}$

(5) $f\left(x\right)=x^3(x+6{)}^6$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(x^3\right)\left(6\right)(x+6{)}^5(1)+(x+6{)}^6\left(3x^2\right)\\ & =(x+6{)}^5(9x^3+18x^2)\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)& =\left(5\right)(x+6{)}^4(1)(9x^3+18x^2)+(x+6{)}^5(27x^2+36x)\\ & =(x+6{)}^4(72x^3+288x^2+216x)\end{array}$

(6) $f\left(x\right)=x^7\ln x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)& =\left(x^7\right)\left(\frac{1}{x}\right)+(lnx)\left(7x^6\right)\\ & =x^6+(lnx)\left(7x^6\right)\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)& =6x^5+(lnx)\left(42x^5\right)+\left(7x^6\right)\left(\frac{1}{x}\right)\\ & =13x^5+(lnx)\left(42x^5\right)\end{array}$

(7) $f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{(x+2)\left(1\right)-\left(x\right)\left(1\right)}{(x+2{)}^2}=\frac{2}{(x+2{)}^2}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{-2\times 2(x+2)\left(1\right)}{(x+2{)}^4}=\frac{-4(x+2)}{(x+2{)}^4}=\frac{-4}{(x+2{)}^3}\end{array}$

(8) $f\left(x\right)=\sin x^2$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2xcos x^2\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=\left(2x\right)(-2xsin x^2)+(cos x^2)\left(2\right)=-4x^{2}sin x^2+2cos x^2\end{array}$

(9) $f\left(x\right)=2x^{-3}$

$\begin{array}{r}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-6x^{-4}\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)=24x^{-5}\end{array}$

(10) $f\left(x\right)=x^3-\frac{5}{x}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=x^3-\frac{5}{x}=x^3-5x^{-1}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2+5x^{-2}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x-10x^{-3}\end{array}$

(11) $f\left(x\right)=\sqrt{x}$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4\sqrt{x^3}}\end{array}$

(12) $f\left(x\right)=2-4x+x^2-x^3$

$\begin{array}{r}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-4+2x-3x^2\\ f^{\prime \prime }\left(x\right)=2-6x\end{array}$

أجد المشتقة الثانية لكل اقتران ممّا يأتي عند قيمة x المعطاة:

(13) $f\left(x\right)=8x^3-3x+\frac{4}{x} , x=-2$

$\begin{array}{rl}& f\left(x\right)=8x^3-3x+\frac{4}{x}=8x^3-3x+4x^{-1}\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=24x^2-3-4x^{-2}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=48x+8x^{-3}\\ & f^{\prime \prime }(-2)=48(-2)+8(-2{)}^{-3}=-96-1=-97\end{array}$

(14) $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-4} , x=3$

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-2}{(2x-4{)}^2}\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{2\times 2\times (2x-4{)}^1\times 2}{(2x-4{)}^4}=\frac{8}{(2x-4{)}^3}\\ & f^{\prime \prime }\left(3\right)=\frac{8}{\left(2\right(3)-4{)}^3}=\frac{8}{8}=1\end{array}$

(15) إذا كان: $f\left(x\right)=p{x}^3-3p{x}^2+x-4$ ، وكانت: $f^{\prime \prime }\left(2\right)=-1$ ، فأجد قيمة الثابت p .

$\begin{array}{rl}& f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3p{x}^2-6px+1\\ & f^{\prime \prime }\left(x\right)=6px-6p\\ & f^{\prime \prime }\left(2\right)=6p\left(2\right)-6p\\ & -1=12p-6p\\ & 6p=-1\\ & p=-\frac{1}{6}\end{array}$

يمثل الاقتران: $\mathit{s}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{t}}^{\mathbf{5}}\mathbf{-}\mathbf{20}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرك على خط مستقيم حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(16) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 3 ؟

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=5t^4-40t\\ & v\left(3\right)=5(3{)}^4-40(3)=405-120=285\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(17) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 3 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (إلى اليمين) عندما t = 3 .

(18) ما تسارع الجسم عندما t = 3 ؟

$\begin{array}{rl}& a\left(t\right)=20t^3-40\\ & a\left(3\right)=20(3{)}^3-40=540-40=500\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

(19) أجد قيم t التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$\begin{array}{rl}& 5t^4-40t=0\\ & 5t(t^3-8)=0\\ & t=0\text{or}t=2\end{array}$

يمثل الاقتران: $\mathit{s}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{t}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(20) ما سرعة الجسم المتجهة عندما t = 4 ؟

$\begin{array}{rl}& s\left(t\right)=\frac{3t}{1+t}\\ & v\left(t\right)=\frac{(1+t)\left(3\right)-\left(3t\right)\left(1\right)}{(1+t{)}^2}=\frac{3}{(1+t{)}^2}\\ & v\left(4\right)=\frac{3}{(1+4{)}^2}=\frac{3}{25}=0.12\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(21) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما t = 4 ؟

بما أن إشارة السرعة المتجهة موجبة، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب (إلى اليمين) عندما t = 4 .

(22) ما تسارع الجسم عندما t = 4 ؟

$\begin{array}{rl}& a\left(t\right)=\frac{-3\times 2(1+t)\left(1\right)}{(1+t{)}^4}=\frac{-6}{(1+t{)}^3}\\ & a\left(4\right)=\frac{-6}{(1+4{)}^3}=\frac{-6}{125}=-0.048\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

لوح تزلج: يتحرك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلج بحيث يمكن نمذجة موقعه باستعمال الاقتران: s(t) = t² – 8t + 12  ، حيث s الموقع بالأمتار، و t الزمن بالثواني:

(23) ما سرعة رامي المتجهة بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{array}{rl}& v\left(t\right)=2t-8\\ & v\left(6\right)=2\left(6\right)-8=4\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

(24) ما تسارع رامي بعد 6 ثوانٍ من بدء حركته؟

$\begin{array}{rl}& a\left(t\right)=2\\ & a\left(6\right)=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\end{array}$

(25) أجد قيم t التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

يكون رامي في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته المتجهة 0

$2t-8=0\to t=4$