مسألة اليوم

تطبيقات القيم القصوى

أرادت إسراء تصميم حوض أسماك زجاجي مفتوح من الأعلى، بحيث تكون سعته 0.2 m³  وأبعاده كما في الشكل المجاور. أجد أبعاد الحوض التي تجعل كميّة الزجاج المستعملة لصنعه أقل ما يمكن.

مساحة سطح الحوض المفتوح من الأعلى:

S = 4xy + x²

حجم الحوض: V = x²y

$\begin{array}{rl}& 0.2=x^{2}y\to y=\frac{0.2}{x^2}\\ & S=4xy+x^2\\ & S\left(x\right)=4x\left(\frac{0.2}{x^2}\right)+x^2=\frac{0.8}{x}+x^2\\ & S^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-0.8}{x^2}+2x\\ & \frac{-0.8}{x^2}+2x=0\to 2x=\frac{0.8}{x^2}\to 2x^3=0.8\to x^3=0.4\to x=\sqrt[3]{0.4}\end{array}$

توجد قيمة حرجة واحدة هي: $x=\sqrt[3]{0.4}$

$\begin{array}{rl}& S^{\prime \prime }\left(x\right)=\frac{1.6}{x^3}+2\\ & S^{\prime \prime }\left(\sqrt[3]{0.4}\right)=\frac{1.2}{(\sqrt[3]{0.4}{)}^3}+2=5>0\end{array}$

إذن توجد قيمة صغرى محلية عندما: $x=\sqrt[3]{0.4}$  

وتكون أبعاد الحوض التي تجعل كمية الزجاج المستعملة لصنعه أقل ما يمكن هي:

$x=\sqrt[3]{0.4}\mathrm{m},y=\frac{0.2}{(\sqrt[3]{0.4}{)}^2}\mathrm{m}$