مهارات التفكير العليا

قاعدة السلسلة

تبرير: إذا كان الاقتران: y = ln (ax + b) ، حيث a و b ثابتان موجبان، وكان ميل المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة P هو 1 ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(42) أثبت أن الإحداثي x للنقطة P أقل من 1

$\begin{array}{rl}& y=ln (ax+b)\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{a}{ax+b}\end{array}$

ليكن إحداثيا P هما (x₁, y₁)، فيكون ميل المماس عند P هو:

$\begin{array}{rl}& {\frac{dy}{dx}|}_{x=x_1}=\frac{a}{a{x}_1+b}\to \frac{a}{a{x}_1+b}=1\\ & \to a=a{x}_1+b\\ & \to x_1=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}\end{array}$

المقدار  $\frac{b}{a}$- 1 أقل من 1 ؛ لأن $\frac{b}{a}$ مقدار موجب كون a , b موجبين.

(43) أجد إحداثيي النقطة التي يكون عندها ميل المماس $\frac{1}{2}$ ، علماً بأن P هي النقطة (0, 2)، ثم أبرر إجابتي.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{P}(x_1,y_1)=(0,2)\\ & x_1=1-\frac{b}{a}=0\to b=a\\ & y_1=ln(a{x}_1+b)\to 2=ln\left(b\right)\to b=e^2\to a=e^2\end{array}$

بتعويض قيمتي a , b في قاعدة الاقتران ينتج أن:

$\begin{array}{rl}y& =ln (e^{2}x+e^2)\\ & =ln e^2(x+1)\\ & =ln e^2+ln (x+1)\\ & =2+ln (x+1)\end{array}$

ميل المماس هو: $\frac{1}{x + 1}$ = $\frac{dy}{dx}$ وهذا يساوي $\frac{1}{2}$

إذن: $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{x + 1}$ 

أي أن: x + 1 = 2

إذن: x = 1  و y = 2 + ln 2

النقطة التي يكون ميل المماس عندها $\frac{1}{2}$ هي (1, 2 + ln 2).

تبرير: يعطى منحنى بالمعادلة الوسيطية: x = t² , y = 2t :

(44) أجد $\frac{dy}{dx}$ بدلالة t .

$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dt}=2,\frac{dx}{dt}=2t\\ & \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\end{array}$

(45) أجد معادلة العمودي على المماس المنحنى عند النقطة (t² , 2t).

ميل المماس:

$m=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{t}$

ميل العمودي على المماس:

$m=\frac{-1}{\frac{1}{t}}=-t$

معادلة العمودي على المماس:

$y-2t=-t(x-t^2)\to y=-tx+t^3+2t$

(46) أثبت أن مساحة المثلث المكون من العمودي على المماس، والمحورين الإحداثيين، هي $\frac{1}{2}\left|t\right|{(2+t^2)}^2$ .

لإيجاد المقطع x للعمودي على المماس نضع y = 0

$0=-tx+t^3+2t\to x=\frac{t^3+2t}{t}=t^2+2$

لإيجاد المقطع y للعمودي على المماس نضع x = 0

$y=-t\left(0\right)+t^3+2t=t^3+2t$

مساحة المثلث:

$\begin{array}{rl}A& =\frac{1}{2}|t^2+2||t^3+2t|\\ & =\frac{1}{2}|t^2+2|\left|t(t^2+2)\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|t{(t^2+2)}^2\right|\\ & =\frac{1}{2}\left|t\right|{(t^2+2)}^2\end{array}$