مسألة اليوم

القيم القصوى والتقعر

يمثل الاقتران: $C\left(t\right)=3.59+8(1.5e^{-0.4t-1}-e^{-0.6t})$ تركيز جرعة دواء في دم مريض بعد t ساعة من تناوله، حيث C مقيسة بوحدة $\mu \mathrm{g}/\mathrm{mL}$ . أحدد الزمن الذي يكون فيه تركيز الدواء أكبر ما يمكن خلال أول 12 ساعة من تناوله.

المطلوب هو قيمة  التي يكون عندها للاقتران C(t) قيمة عظمى مطلقة [0, 12] ، لذا نجد القيم الحرجة:

$\begin{array}{rl}{C}^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=8(-0.6e^{-0.4t-1}+0.6e^{-0.6t})=0& \to e^{-0.4t-1}=e^{-0.6t}\\ & \to 0.4t+1=0.6t\\ & \to t=5\end{array}$

توجد قيمة حرجة وحيدة ضمن مجال الاقتران هي: t = 5

نقارن قيمة الاقتران عند النقطة الحرجة مع قيمتيه عند طرفي مجاله باستخدام الآلة الحاسبة:

$\begin{array}{rl}& C\left(0\right)=3.59+8(1.5e^{-0.4\left(0\right)-1}-e^{-0.6\left(0\right)})\approx 0.005\\ & C\left(5\right)=3.59+8(1.5e^{-0.4\left(5\right)-1}-e^{-0.6\left(5\right)})\approx 3.79\\ & C\left(12\right)=3.59+8(1.5e^{-0.4\left(12\right)-1}-e^{-0.6\left(12\right)})\approx 3.62\end{array}$

وبما أنّ C(5) هو أكبر هذه القيم فإن تركيز الدواء يكون أكبر ما يمكن بعد 5 ساعات من تناوله.