أتحقق من فهمي

المحل الهندسي في المستوى المركب

الدائرة

أتحقق من فهمي صفحة 169

أجد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة: $|z+5-4i|=7$ ، ثم أكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

$|z+5-4i|=7\to |z-(-5+4i\left)\right|=7$

وهذه معادلة دائرة في المستوى المركب مركزها (-5, 4)، وطول نصف قطرها 7

$\begin{array}{rl}|z+5-4i|=7& \to |x+iy+5-4i|=7\\ & \to \left|\right(x+5)+(y-4\left)i\right|=7\\ & \to \sqrt{(x+5{)}^2+(y-4{)}^2}=7\\ & \to (x+5{)}^2+(y-4{)}^2=49\end{array}$

وهذه معادلة دائرة مركزها (-5, 4)، وطول نصف قطرها 7

أتحقق من فهمي صفحة 171

إذا كانت: $|z+4-4\sqrt{3}i|=4$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:

(a) أرسم المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة في المستوى المركب.

$|z+4-4\sqrt{3}i|=4\to |z-(-4+4\sqrt{3}i\left)\right|=4$

وهذه معادلة دائرة في المستوى المركب مركزها ($\sqrt{3}$-4, 4)، وطول نصف قطرها 4

(b) أجد القيمة العظمى لسعة الأعداد المركبة z التي تحقق المعادلة.

أكبر سعة للعدد المركب z تساوي قياس الزاوية $\angle$FOE المحصورة بين مماس الدائرة OE والمحور الحقيقي الموجب.

مماسا الدائرة OG و OE عموديان على الترتيب على نصفي القطرين DG و DE .

المثلثان OGD و OED متطابقان بثلاثة أضلاع، إذن الزاويتان $\angle$GOD و $\angle$EOD متطابقتان.

$\begin{array}{rl}& tan \mathrm{\angle }GOD=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \to \mathrm{\angle }GOD=\frac{\pi }{6}\\ & Arg \left(z\right)=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}\end{array}$

القيمة العظمى لسعة الأعدد المركبة z التي تحقق المعادلة المعطاة هي: $\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$

المنصف العمودي للقطعة المستقيمة

أتحقق من فهمي صفحة 172

أجد المحل الهندسي الذي تمثله المعادلة: $|z+1|=|z-5i|$ ، ثم أكتب المعادلة بالصيغة الديكارتية.

$|z+1|=|z-5i|\to |z-(-1\left)\right|=|z-(5i\left)\right|$

وهذه هي معادلة المنصف العمودي للقطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين (0, 5)، (-1, 0).

$\begin{array}{rl}|z+1|=|z-5i|& \to |x+iy+1|=|x+iy-5i|\\ & \to \left|\right(x+1)+iy|=|x+i(y-5\left)\right|\\ & \to \sqrt{(x+1{)}^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-5{)}^2}\\ & \to (x+1{)}^2+y^2=x^2+(y-5{)}^2\\ & \to x^2+2x+1+y^2=x^2+y^2-10y+25\\ & \to 2x+10y-24=0\end{array}$

إذن معادلة المنصف العمودي للقطعة المستقيمة بالصيغة الديكارتية هي:

x + 5y - 12 = 0