مهارات التفكير العليا

المساحات والحجوم

تبرير: أجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعاً: 

(22) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين: $y=x^{1/2},\cdot y=x^2$.

$\begin{array}{rl}& x^2=x^{\frac{1}{2}}\Rightarrow x^4=x\Rightarrow x^4-x=0\Rightarrow x(x^3-1)=0\Rightarrow x=0,x=1\\ & A={\int }_0^1(x^{\frac{1}{2}}-x^2)dx={(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}{x}^3)|}_0^1=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\end{array}$

(23) أجد المساحة المحصورة بين منحتيي الاقترانين: $y=x^{1/3},\cdot y=x^3$.

$\begin{array}{rl}& x^3=x^{\frac{1}{3}}\Rightarrow x^9=x\Rightarrow x^9-x=0\Rightarrow x(x^8-1)=0\\ & \Rightarrow x(x^4-1)(x^4+1)=0\Rightarrow x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=0\\ & \Rightarrow x=0,x=-1,x=1\\ & {\left(\frac{1}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2},{\left(\frac{1}{8}\right)}^3=\frac{1}{512}\Rightarrow x^{\frac{1}{3}}>x^3,0<x<1\\ & {\left(\frac{-1}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}=\frac{-1}{2},{\left(\frac{-1}{8}\right)}^3=\frac{-1}{512}\Rightarrow x^3>x^{\frac{1}{3}},-1<x<0\\ & A={\int }_{-1}^0(x^3-x^{\frac{1}{3}})dx+{\int }_0^1(x^{\frac{1}{3}}-x^3)dx\\ & ={(\frac{1}{4}{x}^4-\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}})|}_{-1}^0+{(\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{4}{x}^4)|}_0^1\\ & =0-(\frac{1}{4}-\frac{3}{4})+\frac{3}{4}-\frac{1}{4}-0=1\end{array}$

(24) أجد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي الاقترانين : $y=x^{1/n},y=x^n$، حيث $n$ عدد صحيح أكبر من أو يساوي 2، مبرراً إجابتي.

أولاً إذا كان n زوجياً

يتقاطع المنحنيان عند $x=0,x=1$

$\begin{array}{c}A={\int }_0^1(x^{\frac{1}{n}}-x^n)dx={(\frac{x^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1}-\frac{x^{n+1}}{n+1})|}_0^1=\frac{1}{\frac{1}{n}+1}-\frac{1}{n+1}-0\\ =\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n-1}{n+1}\end{array}$

ثانياً إذا كان n فردياً

يتقاطع المنحنيان عند $x=0,x=1,x=-1$

$\begin{array}{rl}& A={\int }_{-1}^0(x^n-x^{\frac{1}{n}})dx+{\int }_0^1(x^{\frac{1}{n}}-x^n)dx\\ & ={(\frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{x^{\frac{1}{n}1}}{\frac{1}{n}+1})|}_{-1}^0+{(\frac{x^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1}-\frac{x^{n+1}}{n+1})|}_0^1\\ & =0-(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{\frac{1}{n}+1})+\frac{1}{\frac{1}{n}+1}-\frac{1}{n+1}-0=\frac{-1+n}{n+1}+\frac{n-1}{n+1}\\ & =\frac{2(n-1)}{n+1}\end{array}$

تبرير: يبين الشكل المجاور منحنى الاقتران: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}}$، حيث: $\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{1}$. إذا كانت النقطة $\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}$ تقع على منحنى الاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$، حيث $\overline{\mathbf{P}\mathbf{A}}$ يوازي المحور $\mathit{y}$، و$\overline{\mathbf{P}\mathbf{B}}$ يوازي المحور $\mathit{x}$، فأجد كلاً مما يأتي:

(25) مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f\left(x\right)$، والمستقيم $y=4$ والمحورين الإحداثيين.

$\sqrt{2x-2}=0\Rightarrow x=1$

نقسم المنطقة المطلوب حساب مساحتها إلى قسمين برسم المستقيم x=1، ونجد المساحة كما يأتي:

$\begin{array}{rl}& A={\int }_0^{1}4dx+{\int }_1^9(4-\sqrt{2x-2})dx\\ & ={\left(4x\right)|}_0^1+{(4x-\frac{1}{3}(2x-2{)}^{\frac{3}{2}})|}_1^9\\ & =4-0+36-\frac{1}{3}(16{)}^{\frac{3}{2}}-(4-0)=\frac{44}{3}\end{array}$

(26) مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f\left(x\right)$، والمستقيم $x=9$، والمحور $x$.

$A={\int }_1^9\sqrt{2x-2}dx={\frac{1}{3}(2x-2{)}^{\frac{3}{2}}|}_1^9=\frac{1}{3}\left(\right(16{)}^{\frac{3}{2}}-0)=\frac{64}{3}$

(27) تبرير: بين الشكل المجاور المنطقة المحصورة بين المحورين الإحداثيين في الربع الأول، ومنحنى الاقتران: $f\left(x\right)=2\sqrt{x-2}$، والمستقيمين: $x=6,y=5$. أجد حجم المجسم الناتج من دوران المنطقة حول المحور $bbb$، مبرراً إجابتي.

$2\sqrt{x-2}=0\Rightarrow x=2$

نقسم المنطقة إلى قسمين برسم المستقيم x=2، ونجد الحجم كما يأتي:

$\begin{array}{rl}& V=\pi {\int }_0^2{5}^{2}dx+\pi {\int }_2^6(5^2-(2\sqrt{x-2}{)}^2)dx\\ & =\pi {\int }_0^{2}25dx+\pi {\int }_2^6(25-(4x-8)dx\\ & =50\pi +\pi {\int }_2^6(33-4x)dx=50\pi +{\pi (33x-2x^2)|}_2^6\\ & =50\pi +\pi \left(33\right(6)-72-66+8)\mid \\ & =118\pi \end{array}$

تبرير: يبين الشكل المجاور منحنى كل من الاقتران: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}$، والمستقيم: $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}$. إذا مر المستقيم ومنحنى الاقتران بالنقطة $\mathit{A}$ الواقعة على المحور $\mathit{y}$، وكان للاقتران $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}$ قيمة عظمى محلية عند النقطة $\mathit{B}$، وقيمة صغرى محلية عند النقطة $\mathit{C}$، وقطع الخط الموازي للمحور $\mathit{y}$ والمار بالنقطة $\mathit{C}$ المستقيم: $\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{10}$ في النقطة $\mathit{D}$؛ فأجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعاً: 

(28) أجد إحداثيات كل من النقطة $B$، والنقطة $C$.

$\begin{array}{rl}& y=x^3-5x^2+3x+10\\ & f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=3x^2-10x+3=0\Rightarrow (3x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3},x=3\end{array}$

نقطة القيمة العظمى هي:

$B(\frac{1}{3},f\left(\frac{1}{3}\right))=(\frac{1}{3},\frac{283}{27})$

نقطة القيمة الصغرى هي:

$C(3,f(3\left)\right)=(3,1)$

(29) أثبت أن $\overline{AD}$ مماس لمنحنى الاقتران $f\left(x\right)$ عند النقطة $A$، مبرراً إجابتي.

النقطة A تقع على محور y إذن أحداثياها هما:

$A(0,f(0\left)\right)=(0,10)$

ميل المنحنى عند A هو:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=0}=0-0+3=3$

معادلة مماس المنحنى $f\left(x\right)$ عند النقطة A هي (حيث $f^{\mathrm{\prime }}\left(0\right)=3$):

$y-10=3(x-0)\Rightarrow y=3x+10$

وهذه المعادلة هي معادلة المستقيم $\overleftrightarrow{AD}$ نفسها.

إذن، $\overleftrightarrow{AD}$ مماس لمنحنى $f\left(x\right)$ عند النقطة A

(30) أجد مساحة المنطقة المظللة، مبرراً إجابتي.

$\begin{array}{rl}A=& {\int }_0^3(3x+10-(x^3-5x^2+3x+10))dx\\ & ={\int }_0^3(5x^2-x^3)dx={(\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4)|}_0^3=45-\frac{81}{4}-0=\frac{99}{4}\end{array}$

تبرير: يبين الشكل المجاور منحنيي الاقترانين: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{,}\mathit{h}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{}\mathit{x}$، معتمداً هذا الشكل، أجيب عن الأسئلة الثلاثة الآتية تباعاً:

(31) أجد إحداثيي النقطة $A$.

$f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow \cos x=\sin x\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4} \text{or }x=\frac{5\pi }{4}$

نلاحظ من الرسم المعطى x تقع في الفترة $(0,\frac{\pi }{2})$

إذن، إحداثيا النقطة A هما: $(\frac{\pi }{4},f\left(\frac{\pi }{4}\right))=(\frac{\pi }{4},\frac{1}{\sqrt{2}})$

(32) أجد مساحة كل من المناطق: $R_1,R_2,R_3$.

$\begin{array}{rl}& A\left(R_1\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(cosx-sinx)dx\\ & ={(sinx+cosx)|}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-(0+1)=\sqrt{2}-1\\ & A\left(R_2\right)={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}sinxdx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}cosxdx\\ & =-{cosx|}_0^{\frac{\pi }{4}}+{sinx|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}+1+1-\frac{1}{\sqrt{2}}=2-\sqrt{2}\\ & A\left(R_3\right)={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}(sinx-cosx)dx+{\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }sinxdx\\ & ={(-cosx-sinx)|}_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}+{(-cosx)|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }=\sqrt{2}\\ & =-0-1-(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})+(-(-1)+0)=\sqrt{2}\end{array}$

(33) أثبت أن مساحة المنطقة $R_1$ إلى مساحة المنطقة $R_2$ تساوي: $\sqrt{2}:2$.

$\frac{A\left(R_1\right)}{A\left(R_2\right)}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

إذن: $A\left(R_1\right):A\left(R_2\right)=\sqrt{2}:2$

تحد: يبين الشكل المجاور المنطقة $\mathit{R}$ المحصورة بين منحنى الاقتران: $\mathit{y}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{r}}$ حيث: $\mathit{r}\mathbf{>}\mathbf{1}$، والمحور $\mathit{x}$، ومماس منحنى الاقتران عند النقطة (1,1):

(34) أثبت أن مماس منحنى الاقتران يقطع المحور $x$ عند النقطة $(\frac{r-1}{r},0)$.

$y=x^r,y^{\mathrm{\prime }}=r{x}^{r-1}$

ميل المماس عند (1,1) هو:

$bbb{y^{\mathrm{\prime }}|}_{x=1}=r(1{)}^{r-1}=r$

معادلة المماس هي:

$y-1=r(x-1)\Rightarrow y=rx+1-r$

لإيجاد المقطع x لهذا المماس نضع y=0 في معادلته:

$0=rx+1-r\Rightarrow x=\frac{r-1}{r}$

إذن، يقطع هذا المماس المحور x في النقطة $(\frac{r-1}{r},0)$

(35) أستعمل النتيجة من الفرع السابق لإثبات أن مساحة المنطقة $R$ هي $\frac{r-1}{2r(r+1)}$ وحدة مربعة.

مساحة المنطقة R تساوي المساحة بين المنحنى والمحور x والمستقيمين x=0,x=1 مطروحاً منها مساحة المثلث  الذي رؤوسه $(1,0),(1,1),(\frac{r-1}{r},0)$ أي أن $A\left(R\right)$ هي: 

$\begin{array}{rl}A\left(R\right)& ={\int }_0^1{x}^{r}dx-\frac{1}{2}(1-\frac{r-1}{r})\left(1\right)\\ & ={\frac{x^r}{r+1}|}_0^1-\frac{1}{2r}=\frac{1}{r+1}-\frac{1}{2r}=\frac{2r-r-1}{2r(r+1)}=\frac{r-1}{2r(r+1)}\end{array}$

(36) أجد قيمة الثابت $r$ التي تجعل مساحة المنطقة $R$ أكبر ما يمكن.

$\begin{array}{rl}& A\left(r\right)=\frac{r-1}{2r^2+2r},r\ge 1\\ & A^{\mathrm{\prime }}\left(r\right)=\frac{2r^2+2r-(r-1)(4r+2)}{{(2r^2+2r)}^2}=\frac{-2(r^2-2r-1)}{{(2r^2+2r)}^2}=0\\ & \Rightarrow r^2-2r-1=0\Rightarrow r=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}\end{array}$

ولأن $r\ge 1$ تكون قيمة الحرجة $1+\sqrt{2}$

إذن، قيمة r التي تجعل المساحة أكبر ما يمكن هي: $r=1+\sqrt{2}$

تحد: إذا كان العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathit{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{6}$ عند النقطة (1,3) يقطع منحنى الاقتران مرة أخرى عند النقطة $\mathit{P}$، فأجد كلاً مما يأتي:

(37) إحداثيات النقطة $P$.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=2x-4$

ميل المماس عند النقطة (1,3) هو:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(1\right)=-2$

ميل العمودي على المماس عند النقطة (1,3) هو: $\frac{1}{2}$

معادلة العمودي:

 $y-3=\frac{1}{2}(x-1)\Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

نجد نقاط تقاطع المنحنى والعمودي على المماس:

$\begin{array}{rl}& x^2-4x+6=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\Rightarrow 2x^2-9x+7=0\\ & \Rightarrow (2x-7)(x-1)=0\Rightarrow x=\frac{7}{2},x=1\\ & \Rightarrow P(\frac{7}{2},f\left(\frac{7}{2}\right))=(\frac{7}{2},\frac{17}{4})\end{array}$

(38) مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الاقتران $f\left(x\right)$ والعمودي على المماس، مقرباً إجابتي إلى أقرب 3 منازل عشرية.

$\begin{array}{rl}& A={\int }_1^{\frac{7}{2}}(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}-(x^2-4x+6))dx\\ & ={\int }_1^{\frac{7}{2}}(\frac{9}{2}x-\frac{7}{2}-x^2)dx={(\frac{9}{4}{x}^2-\frac{7}{2}x-\frac{1}{3}{x}^3)|}_1^{\frac{7}{2}}\\ & =(\frac{9}{4}{\left(\frac{7}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}\left(\frac{7}{2}\right)-\frac{1}{3}{\left(\frac{7}{2}\right)}^3)-(\frac{9}{4}-\frac{7}{2}-\frac{1}{3})\\ & =\frac{125}{48}\approx 2.604\end{array}$

(39) تبرير: المنطقة المظللة في الشكل المجاور محصورة بين قطعين مكافئين، يقطع كل منهما المحور $x$، عندما $x=-1,x=1$. إذا كانت معادلتا القطعين هما: $y=2k(x^2-1),y=k(1-x^2)$، وكانت مـساحة المنطقة المظللة هي 8 وحدات مربعة، فأجد قيمة الثابت $k$.

$\begin{array}{rl}& {\int }_{-1}^1(k(1-x^2)-2k(x^2-1))dx=8\\ & \Rightarrow {\int }_{-1}^1(k(1-x^2)+2k(1-x^2))dx=8\\ & \Rightarrow 3k{\int }_{-1}^1(1-x^2)dx=8\\ & {3k(x-\frac{1}{3}{x}^3)|}_{-1}^1=8\\ & 3k((1-\frac{1}{3})-(-1+\frac{1}{3}))=8\\ & 3k(2-\frac{2}{3})=8\\ & 3k\left(\frac{4}{3}\right)=8\\ & \Rightarrow k=2\end{array}$